Écriture fractionnaire d'un nombre décimal périodique

Décimaux périodiques et fractions

Toute fraction, une fois divisée, donne un décimal fini ou périodique. Il est fini quand le dénominateur, simplifié, ne contient que les facteurs 2 et 5 ; sinon les chiffres se répètent sans fin, car la division n'a qu'un nombre fini de restes possibles et l'un d'eux finit par revenir. 1/7 = 0,(142857) a une période de six chiffres, 1/97 de 96.

Le chemin inverse donne la fraction. La règle scolaire : au numérateur, le nombre sans virgule moins la partie avant la période ; au dénominateur, autant de 9 que la période a de chiffres, suivis d'autant de 0 que la partie non périodique. Pour 0,1(6) : (16 − 1) / 90 = 15/90 = 1/6.

La règle fonctionne parce que multiplier par une puissance de 10 décale la période, et qu'en soustrayant deux copies du nombre les queues infinies s'annulent. C'est aussi pourquoi 0,(9) vaut exactement 1 : l'écart entre les deux nombres serait plus petit que toute quantité positive.

Erreurs fréquentes

Ne mettre que des 9 au dénominateur alors qu'il y a une partie non périodique : 0,1(6) demande 90, pas 9.
Oublier de soustraire la partie non périodique au numérateur.
Ne pas simplifier la fraction : 15/90 est juste, mais le résultat attendu est 1/6.

Questions fréquentes

Pourquoi 0,(9) est-il égal à 1 ?

Parce que 1/3 = 0,(3) et que trois fois 1/3 font 1, alors que trois fois 0,(3) font 0,(9). Par la règle : 9/9 = 1. Deux nombres différents auraient un écart positif, et ici il n'y en a pas.

Comment savoir si une fraction donne un décimal périodique ?

On la simplifie et on décompose le dénominateur : s'il n'a que des facteurs 2 et 5, le décimal est fini, sinon il est périodique. Sans 2 ni 5, il est périodique simple ; avec eux et d'autres facteurs, périodique mixte.

Quelle longueur peut avoir la période ?

Au plus le dénominateur moins un : 1/7 a 6 chiffres, 1/17 en a 16, 1/97 en a 96.

Comment fonctionne ce calcul

Décimal a,b(c) avec une partie non périodique b de k chiffres et une période c de p chiffres : fraction = (abc − ab) / (99…9 00…0), avec p neuf et k zéros. Décimal fini a,b : ab / 10^k. De la fraction au décimal : division posée ; la période commence dès qu'un reste se répète et a la longueur de l'écart entre les deux répétitions.

Décomposition en facteurs premiers

Facteurs premiers d'un nombre jusqu'à 30 chiffres, avec la division en colonne, les diviseurs et un test de primalité.

PGCD et PPCM

Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple avec décomposition en facteurs premiers.

Fractions

Addition, soustraction, multiplication et division de fractions, réduites à leur plus simple expression.

Notation scientifique

Notation scientifique et ingénieur, chiffres significatifs et arrondi de n'importe quel nombre.