Matemática
Calculadora de equações do primeiro e do segundo grau
Informe os coeficientes de ax² + bx + c = 0 e obtenha as raízes, o discriminante, o vértice da parábola e a forma fatorada.
Como se resolvem estas equações
Uma equação do primeiro grau, bx + c = 0, tem sempre exatamente uma solução quando b não é zero: x = −c/b. Os dois casos-limite são instrutivos. Se b e c são ambos zero, a igualdade vale para qualquer x e a equação é chamada indeterminada; se b é zero mas c não, nenhum valor a satisfaz e a equação é impossível.
Para o segundo grau, a fórmula de Bhaskara é x = (−b ± √Δ) / 2a, em que Δ = b² − 4ac é o discriminante. O sinal de Δ decide tudo: positivo dá duas raízes reais distintas, zero uma raiz dupla, negativo duas raízes complexas conjugadas da forma p ± qi. No gráfico a leitura é imediata: Δ conta os pontos de encontro entre a parábola y = ax² + bx + c e o eixo x.
Outras informações úteis ficam em volta das raízes. As relações de Girard dizem que a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a: são uma ótima verificação à mão do resultado. O vértice da parábola fica em x = −b/2a, exatamente no meio entre as duas raízes quando elas são reais, e a sua ordenada diz se a parábola toca, cruza ou não alcança o eixo. Quando as raízes são reais, é possível escrever a forma fatorada a(x − x₁)(x − x₂), que é a mesma equação relida como produto de fatores.
Exemplo: x² − 3x + 2 = 0. O discriminante é 9 − 8 = 1, positivo, então há duas raízes reais: x = (3 ± 1) / 2, ou seja, 1 e 2. A soma é 3, que confere com −b/a, e o produto é 2, que é c/a. O vértice fica em x = 1,5 com ordenada −0,25, e a forma fatorada é (x − 1)(x − 2).
Erros frequentes
- Esquecer o sinal de menos na frente de b na fórmula de Bhaskara: é o deslize mais frequente quando b já é negativo, porque os dois sinais se cancelam.
- Calcular o discriminante como b² − 4c, deixando de fora o coeficiente a: a fórmula correta é b² − 4ac.
- Concluir que uma equação não tem solução quando o discriminante é negativo: ela não tem soluções reais, mas tem duas complexas conjugadas.
- Dividir por a sem verificar que ele não é zero: com a igual a zero a equação é do primeiro grau e a fórmula de Bhaskara não se aplica.
- Escrever a forma fatorada como a(x + x₁)(x + x₂): os sinais das raízes precisam ser trocados, porque os fatores são (x − x₁) e (x − x₂).
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula de Bhaskara?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, válida quando a não é zero. A quantidade sob a raiz é o discriminante Δ, e o seu sinal determina quantas soluções existem e de que tipo.
O que o discriminante diz?
Δ = b² − 4ac dá o número de soluções reais: positivo significa duas distintas, zero uma única contada duas vezes, negativo nenhuma real, mas duas complexas conjugadas. Geometricamente, conta onde a parábola cruza o eixo x.
O que acontece se o coeficiente a for zero?
A equação deixa de ser do segundo grau e passa a ser do primeiro, bx + c = 0, com solução x = −c/b. A calculadora reconhece o caso sozinha e passa para a fórmula certa em vez de dividir por zero.
Como se encontra o vértice da parábola?
A abscissa do vértice é x = −b/2a, e a ordenada sai substituindo esse valor na equação. Quando as raízes são reais, o vértice fica exatamente no meio entre elas, porque a parábola é simétrica em relação a essa reta vertical.
O que são as relações de Girard?
Elas ligam os coeficientes às raízes sem resolver a equação: a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a. São um jeito rápido de conferir um resultado ou de reconstruir uma equação a partir das soluções.
Como funciona este cálculo
Primeiro grau: de bx + c = 0 segue que x = −c/b. Segundo grau: Δ = b² − 4ac e x = (−b ± √Δ) / 2a. Com Δ < 0 as raízes são (−b / 2a) ± (√(−Δ) / 2a)i. O vértice fica em x = −b/2a, com a ordenada obtida por substituição. A soma e o produto das raízes são −b/a e c/a. Para evitar a perda de precisão quando −b e √Δ quase se cancelam, a calculadora tira uma raiz da fórmula e a outra do produto c/a.