Circuits RLC : impédance, résonance et transitoires

Des réactances opposées, et la fréquence où elles s'annulent

En courant continu, un condensateur est un circuit ouvert et une bobine un simple fil. En alternatif, tous deux s'opposent au passage, mais en sens contraire et selon la fréquence : la réactance inductive croît avec f, la capacitive décroît. Ce n'est pas une vraie résistance, car elle ne dissipe rien : elle stocke l'énergie un quart de période et la restitue au suivant.

Comme les deux réactances déphasent le courant en sens opposés, elles entrent dans l'impédance avec un signe moins : Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²). Il existe donc une fréquence où elles s'annulent exactement, et l'impédance tombe à sa plus petite valeur possible, la seule résistance. C'est la résonance, f₀ = 1/(2π√(LC)), et c'est ainsi qu'une radio sélectionne une station parmi toutes celles qui atteignent l'antenne.

Le facteur de puissance mesure quelle part du courant qui circule sert vraiment. Un moteur industriel à cos φ = 0,7 appelle au réseau 43% de courant de plus qu'il n'en faudrait pour la même puissance utile, et les pertes en ligne croissent comme le carré du courant. C'est pourquoi les gros consommateurs paient une pénalité sur le facteur de puissance et installent des batteries de condensateurs pour le corriger.

Erreurs fréquentes

Ajouter les réactances à l'impédance comme si c'étaient des résistances : il faut d'abord les soustraire l'une à l'autre, puis les composer avec R par Pythagore.
Confondre puissance apparente et puissance active : la première, en voltampères, est ce que le générateur doit fournir ; la seconde, en watts, ce que la charge transforme réellement.
Croire que plus de résistance ralentit le transitoire RL : la constante vaut L/R, donc une résistance plus grande l'accélère. Pour le RC, c'est l'inverse.

Questions fréquentes

Comment calculer l'impédance d'un circuit RLC série ?

Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²), avec Xʟ = 2πfL et Xᴄ = 1/(2πfC). Les réactances se soustraient parce qu'elles déphasent le courant en sens opposés, et seul le résultat se compose avec R.

Quelle est la formule de la fréquence de résonance ?

f₀ = 1/(2π√(LC)). À cette fréquence les deux réactances sont égales et s'annulent, et l'impédance se réduit à la seule résistance : l'intensité est maximale.

Qu'est-ce que le facteur de puissance ?

C'est cos φ, le cosinus du déphasage entre tension et intensité. Il indique quelle fraction de la puissance apparente devient puissance active : à cos φ = 1 la totalité, à cos φ = 0 rien.

Combien de temps dure un transitoire RC ?

La constante de temps vaut τ = R·C. Après τ le condensateur est à 63%, après 3τ à 95% et après 5τ à 99% : par convention on le considère terminé au bout de cinq constantes de temps.

Comment fonctionne ce calcul

Réactance inductive : Xʟ = 2π·f·L = ω·L. Réactance capacitive : Xᴄ = 1/(2π·f·C) = 1/(ω·C). Impédance d'un RLC série : Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²). Déphasage : tan φ = (Xʟ − Xᴄ)/R. Fréquence de résonance : f₀ = 1/(2π·√(L·C)), où Xʟ = Xᴄ et Z = R. Puissance active : P = U·I·cos φ, en watts. Puissance apparente : S = U·I, en voltampères. Puissance réactive : Q = U·I·sin φ, en var. Transitoire RC : τ = R·C, charge q(t) = Q(1 − e^(−t/τ)). Transitoire RL : τ = L/R, intensité i(t) = I(1 − e^(−t/τ)). Après τ on atteint 63%, après 3τ 95%, après 5τ 99%.

Condensateurs

Capacité, charge, tension et énergie, condensateur plan et capacité équivalente en série et en parallèle.

Loi d'Ohm

Tension, intensité, résistance, puissance dissipée et résistances en série et en parallèle.

Pôles et zéros

Pôles, zéros et stabilité d'une fonction de transfert.

Diagramme de Bode

Module, phase et marges de stabilité de H(s).