Calculadora de autovalores e autovetores

O que são autovalores e autovetores

Um autovetor de uma matriz A é um vetor não nulo que a transformação apenas estica ou comprime, sem mudar a sua direção: A v = λ v. O número λ é o autovalor associado e diz em quanto aquele vetor é escalado. Um autovalor negativo significa que o sentido também é invertido; um igual a 1 significa que o vetor fica exatamente onde está.

Os autovalores são encontrados igualando a zero o determinante de A − λI: isso dá o polinômio característico, de grau igual à ordem da matriz, e as suas raízes são os autovalores. Uma matriz n × n tem sempre n autovalores contados com multiplicidade, mas eles podem ser complexos mesmo quando a matriz é feita só de números reais: uma rotação de 90 graus no plano, por exemplo, não deixa nenhuma direção real inalterada e tem autovalores ±i.

Conhecido um autovalor λ, os seus autovetores são as soluções não nulas do sistema homogêneo (A − λI) v = 0, isto é, o núcleo dessa matriz. Como o sistema é homogêneo, se v é autovetor, qualquer múltiplo dele também é: a calculadora normaliza cada vetor para que a maior componente seja 1, e assim duas execuções devolvem sempre a mesma representação.

Duas verificações rápidas permitem conferir o resultado à mão: a soma dos autovalores é igual ao traço da matriz, ou seja, à soma dos elementos da diagonal principal, e o produto é igual ao determinante. Para a matriz [[4, 1], [2, 3]] os autovalores são 5 e 2: a soma é 7, que é 4 + 3, e o produto é 10, que é o determinante.

Erros frequentes

Aceitar o vetor nulo como autovetor: ele satisfaz a equação para qualquer λ, e é justamente por isso que é excluído por definição.
Supor que os autovalores de uma matriz real são necessariamente reais: isso só é garantido para matrizes simétricas, não em geral.
Confundir multiplicidade algébrica e geométrica: um autovalor repetido não tem necessariamente dois autovetores independentes, e quando não tem, a matriz não é diagonalizável.
Tratar dois autovetores como diferentes porque estão escritos em escalas diferentes: (1, 2) e (2, 4) geram a mesma direção e o mesmo autoespaço.
Procurar os autovalores de uma matriz não quadrada: a definição não se aplica, e o que esse caso pede são os valores singulares.

Perguntas frequentes

Como se calculam os autovalores de uma matriz?

Resolva det(A − λI) = 0, ou seja, iguale a zero o polinômio característico. Para uma matriz 2 × 2 isso dá λ² − (traço)λ + determinante = 0, uma equação do segundo grau; em ordens maiores é preciso um método numérico.

Uma matriz real pode ter autovalores complexos?

Sim, e eles sempre vêm em pares conjugados. As matrizes de rotação são o caso típico: uma rotação de 90 graus no plano não deixa nenhuma direção real inalterada, e os seus autovalores são i e −i. As matrizes simétricas são a exceção: os seus autovalores são sempre reais.

Por que o meu autovetor é diferente do livro?

Um autovetor só é definido a menos de um fator escalar: se v é autovetor, 2v e −v também são. Esta página normaliza a maior componente em 1, enquanto outros textos normalizam o comprimento em 1 ou mantêm os elementos inteiros.

Como se relacionam autovalores, traço e determinante?

A soma dos autovalores é igual ao traço da matriz e o produto é igual ao determinante. São duas verificações rápidas e confiáveis: se não baterem, há um erro no cálculo ou nos dados informados.

Quando uma matriz é diagonalizável?

Quando tem tantos autovetores independentes quanto a sua ordem, ou seja, quando a multiplicidade geométrica de cada autovalor coincide com a algébrica. As matrizes simétricas reais sempre são, e com autovetores ortogonais entre si.

Como funciona este cálculo

O polinômio característico p(λ) = det(A − λI) é construído com o método de Faddeev-LeVerrier, que obtém os coeficientes dos traços de produtos sucessivos sem nenhuma expansão simbólica. As suas raízes — os autovalores, reais ou complexos — são encontradas com o método de Durand-Kerner, que aproxima todas as raízes de um polinômio mônico ao mesmo tempo. Para cada autovalor real λ, os autovetores são uma base do núcleo de (A − λI), calculada por eliminação com uma tolerância adequada ao fato de λ vir de um método iterativo.

Matrizes e vetores

Soma, produto, determinante, transposta, produto escalar e módulo para matrizes e vetores.

Determinante e inversa

Determinante, posto e inversa de uma matriz quadrada até 12 × 12.

Sistemas de equações lineares

Eliminação de Gauss-Jordan: solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Cálculo vetorial

Produto escalar e vetorial, ângulo entre dois vetores, projeção e áreas.