Lineare Algebra
Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren
Geben Sie eine quadratische Matrix ein und erhalten Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte — reell oder komplex — und die zugehörigen Eigenvektoren.
Was Eigenwerte und Eigenvektoren sind
Ein Eigenvektor einer Matrix A ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, den die Abbildung lediglich streckt oder staucht, ohne seine Richtung zu ändern: A v = λ v. Die Zahl λ ist der zugehörige Eigenwert und gibt an, um wie viel dieser Vektor skaliert wird. Ein negativer Eigenwert bedeutet, dass die Richtung zusätzlich umgekehrt wird; ein Eigenwert von 1, dass der Vektor genau dort bleibt, wo er ist.
Eigenwerte findet man, indem man die Determinante von A − λI null setzt: Es entsteht das charakteristische Polynom, dessen Grad der Ordnung der Matrix entspricht, und seine Nullstellen sind die Eigenwerte. Eine n × n-Matrix hat stets n Eigenwerte mit Vielfachheit gezählt, doch sie können komplex sein, selbst wenn die Matrix nur aus reellen Zahlen besteht: Die 90-Grad-Drehung in der Ebene etwa lässt keine reelle Richtung unverändert und hat die Eigenwerte ±i.
Ist ein Eigenwert λ gefunden, sind seine Eigenvektoren die von null verschiedenen Lösungen des homogenen Systems (A − λI) v = 0, also der Kern dieser Matrix. Da das System homogen ist, ist mit v auch jedes Vielfache von v ein Eigenvektor: Der Rechner normiert jeden Vektor so, dass seine größte Komponente 1 beträgt, damit zwei Durchläufe stets dieselbe Darstellung liefern.
Zwei schnelle Proben erlauben es, das Ergebnis von Hand zu prüfen: Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix, also der Summe der Hauptdiagonalelemente, und ihr Produkt ist gleich der Determinante. Für die Matrix [[4, 1], [2, 3]] sind die Eigenwerte 5 und 2: Ihre Summe ergibt 7, also 4 + 3, und ihr Produkt 10, also die Determinante.
Häufige Fehler
- Den Nullvektor als Eigenvektor zulassen: Er erfüllt die Gleichung für jedes λ und ist genau deshalb per Definition ausgeschlossen.
- Voraussetzen, die Eigenwerte einer reellen Matrix seien reell: Garantiert ist das nur für symmetrische Matrizen, nicht allgemein.
- Algebraische und geometrische Vielfachheit verwechseln: Ein doppelter Eigenwert hat nicht zwangsläufig zwei unabhängige Eigenvektoren, und fehlen sie, ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
- Zwei Eigenvektoren für verschieden halten, nur weil sie unterschiedlich skaliert geschrieben sind: (1, 2) und (2, 4) bestimmen dieselbe Richtung und denselben Eigenraum.
- Die Eigenwerte einer nicht quadratischen Matrix suchen: Die Definition greift dort nicht, dafür braucht es Singulärwerte.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix?
Man löst det(A − λI) = 0, setzt also das charakteristische Polynom null. Bei einer 2 × 2-Matrix führt das auf λ² − (Spur)λ + Determinante = 0, eine quadratische Gleichung; für höhere Ordnungen braucht es ein numerisches Verfahren.
Kann eine reelle Matrix komplexe Eigenwerte haben?
Ja, und sie treten stets in konjugierten Paaren auf. Drehmatrizen sind der Standardfall: Die 90-Grad-Drehung in der Ebene lässt keine reelle Richtung unverändert, ihre Eigenwerte sind i und −i. Symmetrische Matrizen bilden die Ausnahme: Ihre Eigenwerte sind immer reell.
Warum weicht mein Eigenvektor von dem im Lehrbuch ab?
Ein Eigenvektor ist nur bis auf einen Faktor bestimmt: Ist v ein Eigenvektor, so sind es auch 2v und −v. Diese Seite normiert die betragsgrößte Komponente auf 1, während andere Werke die Länge auf 1 normieren oder die Einträge ganzzahlig lassen.
Wie hängen Eigenwerte, Spur und Determinante zusammen?
Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix, ihr Produkt gleich der Determinante. Das sind zwei schnelle und verlässliche Proben: Stimmen sie nicht, liegt ein Fehler in der Rechnung oder in der Eingabe vor.
Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?
Wenn sie so viele unabhängige Eigenvektoren besitzt wie ihre Ordnung angibt, also wenn für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit mit der algebraischen übereinstimmt. Reelle symmetrische Matrizen sind es immer, und zwar mit zueinander orthogonalen Eigenvektoren.
So funktioniert diese Berechnung
Das charakteristische Polynom p(λ) = det(A − λI) wird mit dem Verfahren von Faddeev-LeVerrier aufgebaut, das die Koeffizienten aus den Spuren aufeinanderfolgender Produkte gewinnt, ohne symbolisch zu entwickeln. Seine Nullstellen — die Eigenwerte, reell oder komplex — liefert das Durand-Kerner-Verfahren, das alle Nullstellen eines normierten Polynoms gleichzeitig annähert. Zu jedem reellen Eigenwert λ sind die Eigenvektoren eine Basis des Kerns von (A − λI), berechnet durch Elimination mit einer Toleranz, die dem iterativen Ursprung von λ Rechnung trägt.
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