Álgebra lineal
Calculadora de autovalores y autovectores
Introduce una matriz cuadrada y obtén el polinomio característico, los autovalores — reales o complejos — y los autovectores asociados.
Qué son los autovalores y autovectores
Un autovector de una matriz A es un vector no nulo que la transformación se limita a dilatar o comprimir, sin cambiar su dirección: A v = λ v. El número λ es el autovalor asociado e indica cuánto se escala ese vector. Un autovalor negativo indica que la dirección también se invierte; uno igual a 1, que el vector permanece exactamente donde está.
Los autovalores se hallan anulando el determinante de A − λI: se obtiene el polinomio característico, de grado igual al orden de la matriz, y sus raíces son los autovalores. Una matriz n × n tiene siempre n autovalores contados con su multiplicidad, pero pueden ser complejos incluso cuando la matriz está formada solo por números reales: la rotación de 90 grados en el plano, por ejemplo, no deja invariante ninguna dirección real y tiene autovalores ±i.
Hallado un autovalor λ, sus autovectores son las soluciones no nulas del sistema homogéneo (A − λI) v = 0, es decir el núcleo de esa matriz. Como el sistema es homogéneo, si v es autovector también lo es cualquier múltiplo suyo: la calculadora normaliza cada vector para que su componente mayor valga 1, de modo que dos ejecuciones devuelvan siempre la misma representación.
Dos comprobaciones rápidas permiten verificar el resultado a mano: la suma de los autovalores es igual a la traza de la matriz, es decir a la suma de los elementos de la diagonal principal, y su producto es igual al determinante. Para la matriz [[4, 1], [2, 3]] los autovalores son 5 y 2: su suma da 7, que es 4 + 3, y su producto da 10, que es el determinante.
Errores frecuentes
- Aceptar el vector nulo como autovector: satisface la ecuación para cualquier λ y por eso queda excluido por definición.
- Dar por sentado que los autovalores de una matriz real son reales: solo está garantizado para las matrices simétricas, no en general.
- Confundir multiplicidad algebraica y geométrica: un autovalor doble no tiene necesariamente dos autovectores independientes, y cuando no los tiene la matriz no es diagonalizable.
- Considerar distintos dos autovectores solo porque están escritos con escalas diferentes: (1, 2) y (2, 4) determinan la misma dirección y el mismo subespacio propio.
- Buscar los autovalores de una matriz no cuadrada: la definición no se aplica, y para ese caso hacen falta los valores singulares.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calculan los autovalores de una matriz?
Se resuelve det(A − λI) = 0, es decir se anula el polinomio característico. Para una matriz 2 × 2 se llega a λ² − (traza)λ + determinante = 0, una ecuación de segundo grado; para órdenes superiores hace falta un método numérico.
¿Puede una matriz real tener autovalores complejos?
Sí, y aparecen siempre en pares conjugados. Es el caso de las matrices de rotación: la rotación de 90 grados en el plano no deja invariante ninguna dirección real, y sus autovalores son i y −i. Las matrices simétricas son la excepción: sus autovalores son siempre reales.
¿Por qué mi autovector es distinto del del libro?
Un autovector está definido salvo un factor multiplicativo: si v es autovector también lo son 2v o −v. Esta página normaliza a 1 la componente de mayor módulo, mientras que otros textos normalizan la longitud a 1 o dejan los valores enteros.
¿Qué relación hay entre autovalores, traza y determinante?
La suma de los autovalores es igual a la traza de la matriz y su producto es igual al determinante. Son dos comprobaciones rápidas y fiables: si no cuadran, hay un error en el cálculo o en la introducción de los datos.
¿Cuándo es diagonalizable una matriz?
Cuando sus autovectores independientes son tantos como el orden de la matriz, es decir cuando para cada autovalor la multiplicidad geométrica coincide con la algebraica. Las matrices simétricas reales siempre lo son, y con autovectores ortogonales entre sí.
Cómo funciona este cálculo
El polinomio característico p(λ) = det(A − λI) se construye con el método de Faddeev-LeVerrier, que obtiene los coeficientes a partir de las trazas de productos sucesivos sin expansión simbólica. Sus raíces — los autovalores, reales o complejos — se obtienen con el método de Durand-Kerner, que aproxima simultáneamente todas las raíces de un polinomio mónico. Para cada autovalor real λ los autovectores son la base del núcleo de (A − λI), calculada por eliminación con una tolerancia adecuada al hecho de que λ procede de un método iterativo.
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