Algèbre linéaire
Calculatrice de valeurs propres et de vecteurs propres
Saisissez une matrice carrée et obtenez le polynôme caractéristique, les valeurs propres — réelles ou complexes — et les vecteurs propres associés.
Que sont les valeurs propres et les vecteurs propres
Un vecteur propre d'une matrice A est un vecteur non nul que la transformation se contente de dilater ou de comprimer, sans en changer la direction : A v = λ v. Le nombre λ est la valeur propre associée et indique de combien ce vecteur est mis à l'échelle. Une valeur propre négative signale que la direction est en outre retournée ; une valeur propre égale à 1, que le vecteur reste exactement là où il est.
Les valeurs propres s'obtiennent en annulant le déterminant de A − λI : on en tire le polynôme caractéristique, de degré égal à l'ordre de la matrice, et ses racines sont les valeurs propres. Une matrice n × n a toujours n valeurs propres comptées avec leur multiplicité, mais elles peuvent être complexes même lorsque la matrice n'est faite que de nombres réels : la rotation de 90 degrés dans le plan, par exemple, ne laisse aucune direction réelle invariante et a pour valeurs propres ±i.
Une valeur propre λ trouvée, ses vecteurs propres sont les solutions non nulles du système homogène (A − λI) v = 0, c'est-à-dire le noyau de cette matrice. Le système étant homogène, si v est vecteur propre, tout multiple de v l'est aussi : la calculatrice normalise chaque vecteur pour que sa plus grande composante vaille 1, si bien que deux exécutions renvoient toujours la même représentation.
Deux vérifications rapides permettent de contrôler le résultat à la main : la somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice, c'est-à-dire à la somme des éléments de la diagonale principale, et leur produit est égal au déterminant. Pour la matrice [[4, 1], [2, 3]], les valeurs propres sont 5 et 2 : leur somme fait 7, soit 4 + 3, et leur produit fait 10, soit le déterminant.
Erreurs fréquentes
- Accepter le vecteur nul comme vecteur propre : il satisfait l'équation pour n'importe quel λ, et c'est pourquoi il est exclu par définition.
- Tenir pour acquis que les valeurs propres d'une matrice réelle sont réelles : elles ne le sont avec certitude que pour les matrices symétriques, pas en général.
- Confondre multiplicité algébrique et multiplicité géométrique : une valeur propre double n'a pas nécessairement deux vecteurs propres indépendants, et lorsqu'elle ne les a pas la matrice n'est pas diagonalisable.
- Tenir deux vecteurs propres pour différents au seul motif qu'ils sont écrits à des échelles différentes : (1, 2) et (2, 4) désignent la même direction et le même sous-espace propre.
- Chercher les valeurs propres d'une matrice non carrée : la définition ne s'y applique pas, et il faut alors passer par les valeurs singulières.
Questions fréquentes
Comment calcule-t-on les valeurs propres d'une matrice ?
On résout det(A − λI) = 0, c'est-à-dire qu'on annule le polynôme caractéristique. Pour une matrice 2 × 2, on aboutit à λ² − (trace)λ + déterminant = 0, une équation du second degré ; au-delà, une méthode numérique est nécessaire.
Une matrice réelle peut-elle avoir des valeurs propres complexes ?
Oui, et elles apparaissent toujours par paires conjuguées. C'est le cas des matrices de rotation : la rotation de 90 degrés dans le plan ne laisse aucune direction réelle invariante, et ses valeurs propres sont i et −i. Les matrices symétriques font exception : leurs valeurs propres sont toujours réelles.
Pourquoi mon vecteur propre diffère-t-il de celui du manuel ?
Un vecteur propre n'est défini qu'à un facteur multiplicatif près : si v est vecteur propre, 2v et −v le sont aussi. Cette page normalise à 1 la composante de plus grand module, tandis que d'autres ouvrages normalisent la longueur à 1 ou laissent les valeurs entières.
Quel rapport entre valeurs propres, trace et déterminant ?
La somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice et leur produit est égal au déterminant. Ce sont deux vérifications rapides et fiables : si elles ne tombent pas juste, il y a une erreur dans le calcul ou dans la saisie des données.
Quand une matrice est-elle diagonalisable ?
Lorsqu'elle possède autant de vecteurs propres indépendants que son ordre, c'est-à-dire lorsque, pour chaque valeur propre, la multiplicité géométrique coïncide avec la multiplicité algébrique. Les matrices symétriques réelles le sont toujours, et avec des vecteurs propres orthogonaux entre eux.
Comment fonctionne ce calcul
Le polynôme caractéristique p(λ) = det(A − λI) est construit par la méthode de Faddeev-Le Verrier, qui tire les coefficients des traces de produits successifs sans développement symbolique. Ses racines — les valeurs propres, réelles ou complexes — s'obtiennent par la méthode de Durand-Kerner, qui approche simultanément toutes les racines d'un polynôme unitaire. Pour chaque valeur propre réelle λ, les vecteurs propres forment la base du noyau de (A − λI), calculée par élimination avec une tolérance adaptée au fait que λ provient d'une méthode itérative.
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