Algebra liniowa
Kalkulator wartości i wektorów własnych
Wpisz macierz kwadratową, a otrzymasz wielomian charakterystyczny, wartości własne — rzeczywiste lub zespolone — oraz odpowiadające im wektory własne.
Czym są wartości i wektory własne
Wektor własny macierzy A to niezerowy wektor, który przekształcenie jedynie rozciąga lub ściska, nie zmieniając jego kierunku: A v = λ v. Liczba λ jest odpowiadającą mu wartością własną i mówi, w jakiej skali wektor zostaje przeskalowany. Ujemna wartość własna oznacza, że kierunek zostaje dodatkowo odwrócony, a wartość równa 1 — że wektor pozostaje dokładnie tam, gdzie był.
Wartości własne znajduje się, przyrównując do zera wyznacznik macierzy A − λI: otrzymuje się wielomian charakterystyczny stopnia równego stopniowi macierzy, a jego pierwiastki są wartościami własnymi. Macierz n × n ma zawsze n wartości własnych liczonych z krotnościami, ale mogą one być zespolone nawet wtedy, gdy macierz składa się wyłącznie z liczb rzeczywistych: obrót o 90 stopni na płaszczyźnie nie pozostawia niezmienionego żadnego rzeczywistego kierunku i ma wartości własne ±i.
Gdy wartość własna λ jest już znana, jej wektory własne to niezerowe rozwiązania układu jednorodnego (A − λI) v = 0, czyli jądro tej macierzy. Ponieważ układ jest jednorodny, jeśli v jest wektorem własnym, to jest nim także każda jego wielokrotność: kalkulator normalizuje każdy wektor tak, aby największa współrzędna wynosiła 1, dzięki czemu dwa uruchomienia zawsze dają tę samą reprezentację.
Dwa szybkie sprawdzenia pozwalają zweryfikować wynik ręcznie: suma wartości własnych równa się śladowi macierzy, czyli sumie elementów na głównej przekątnej, a ich iloczyn równa się wyznacznikowi. Dla macierzy [[4, 1], [2, 3]] wartościami własnymi są 5 i 2: ich suma wynosi 7, czyli 4 + 3, a iloczyn 10, czyli wyznacznik.
Częste błędy
- Uznawanie wektora zerowego za wektor własny: spełnia on równanie dla dowolnego λ i właśnie dlatego jest wykluczony z definicji.
- Zakładanie, że wartości własne macierzy rzeczywistej są rzeczywiste: gwarantuje to tylko symetria macierzy, a nie ogólny przypadek.
- Mylenie krotności algebraicznej z geometryczną: podwójna wartość własna nie musi mieć dwóch niezależnych wektorów własnych, a gdy ich nie ma, macierz nie jest diagonalizowalna.
- Uznawanie dwóch wektorów własnych za różne tylko dlatego, że zapisano je w innej skali: (1, 2) i (2, 4) wyznaczają ten sam kierunek i tę samą podprzestrzeń własną.
- Szukanie wartości własnych macierzy niekwadratowej: definicja się do niej nie stosuje, a w takim przypadku potrzebne są wartości osobliwe.
Najczęstsze pytania
Jak oblicza się wartości własne macierzy?
Rozwiązuje się det(A − λI) = 0, czyli przyrównuje do zera wielomian charakterystyczny. Dla macierzy 2 × 2 prowadzi to do λ² − (ślad)λ + wyznacznik = 0, czyli równania kwadratowego; przy wyższych stopniach potrzebna jest metoda numeryczna.
Czy macierz rzeczywista może mieć zespolone wartości własne?
Tak, i zawsze występują one w parach sprzężonych. Tak jest w przypadku macierzy obrotu: obrót o 90 stopni na płaszczyźnie nie pozostawia niezmienionego żadnego rzeczywistego kierunku, a jego wartości własne to i oraz −i. Wyjątkiem są macierze symetryczne: ich wartości własne są zawsze rzeczywiste.
Dlaczego mój wektor własny różni się od tego z podręcznika?
Wektor własny jest określony z dokładnością do czynnika: jeśli v jest wektorem własnym, to są nim także 2v i −v. Ta strona normalizuje do 1 współrzędną o największym module, podczas gdy inne podręczniki normalizują długość do 1 albo pozostawiają wartości całkowite.
Jaki jest związek wartości własnych ze śladem i wyznacznikiem?
Suma wartości własnych równa się śladowi macierzy, a ich iloczyn wyznacznikowi. To dwa szybkie i pewne sprawdzenia: jeśli się nie zgadzają, w obliczeniu albo we wprowadzonych danych jest błąd.
Kiedy macierz jest diagonalizowalna?
Wtedy, gdy ma tyle niezależnych wektorów własnych, ile wynosi jej stopień, czyli gdy dla każdej wartości własnej krotność geometryczna pokrywa się z algebraiczną. Rzeczywiste macierze symetryczne są takie zawsze, i to z wektorami własnymi wzajemnie ortogonalnymi.
Jak działa to obliczenie
Wielomian charakterystyczny p(λ) = det(A − λI) budowany jest metodą Faddiejewa-Le Verriera, która wyznacza współczynniki ze śladów kolejnych iloczynów, bez rozwinięcia symbolicznego. Jego pierwiastki — wartości własne, rzeczywiste lub zespolone — otrzymuje się metodą Duranda-Kernera, przybliżającą jednocześnie wszystkie pierwiastki wielomianu unormowanego. Dla każdej rzeczywistej wartości własnej λ wektory własne tworzą bazę jądra macierzy (A − λI), wyznaczaną przez eliminację z tolerancją dobraną do tego, że λ pochodzi z metody iteracyjnej.
Powiązane kalkulatory
Macierze i wektory
Suma, iloczyn, wyznacznik, transpozycja, iloczyn skalarny i długość macierzy oraz wektorów.
Wyznacznik i macierz odwrotna
Wyznacznik, rząd i macierz odwrotna macierzy kwadratowej do 12 × 12.
Układy równań liniowych
Rozwiązanie metodą Gaussa-Jordana: jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele albo układ sprzeczny.
Rachunek wektorowy
Iloczyn skalarny i wektorowy, kąt między wektorami, rzut i pola.