Lineare Algebra
Matrizen- und Vektorrechner
Legen Sie Dimensionen und Werte der Matrizen A und B fest und wählen Sie eine Operation: Das Ergebnis aktualisiert sich sofort und lässt sich nach A, nach B oder in den Verlauf übernehmen.
Wozu Operationen mit Matrizen und Vektoren dienen
Operationen mit Matrizen und Vektoren bilden die Grundlage der linearen Algebra: Man löst damit Gleichungssysteme, beschreibt geometrische Transformationen (Drehungen, Skalierungen, Projektionen), verarbeitet Bilder und Signale – und sie sind die Sprache, in der ein Großteil der Algorithmen für Computergrafik und maschinelles Lernen geschrieben ist.
Addition und Subtraktion verlangen zwei Matrizen gleicher Dimension und wirken elementweise. Das Matrixprodukt ist dagegen nur definiert, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten übereinstimmt, und das Ergebnis ist im Allgemeinen nicht kommutativ: A × B unterscheidet sich von B × A, selbst wenn beide Produkte berechenbar sind.
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert und zeigt unter anderem, ob die Matrix invertierbar ist: Eine Determinante von null bedeutet, dass das zugehörige lineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung hat. Skalarprodukt und Betrag gelten dagegen für Vektoren (Matrizen mit nur einer Zeile oder Spalte) und sind die Grundlage für Winkel-, Projektions- und Abstandsberechnungen.
Häufige Fehler
- Das Matrixprodukt mit dem elementweisen Produkt verwechseln: A × B verlangt, dass A so viele Spalten hat wie B Zeilen, und das Ergebnis hat die Zeilen von A und die Spalten von B.
- Vergessen, dass das Matrixprodukt nicht kommutativ ist: A × B statt B × A zu berechnen kann ein völlig anderes Ergebnis liefern oder gar nicht definiert sein.
- Die Determinante einer nicht quadratischen Matrix berechnen wollen: Die Operation ist nur definiert, wenn Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Summe und Produkt von Matrizen?
Die Summe wirkt elementweise und verlangt zwei Matrizen gleicher Dimension. Das Produkt kombiniert Zeilen der ersten mit Spalten der zweiten Matrix: Die Spaltenzahl von A muss der Zeilenzahl von B entsprechen, und das Ergebnis hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.
Wie berechnet man die Determinante einer 3×3-Matrix oder größer?
Dieser Rechner verwendet die Laplace-Entwicklung nach der ersten Spalte: Die Determinante wird rekursiv in die Determinanten der Minoren zerlegt, die durch Streichen je einer Zeile und Spalte entstehen, bis 2×2-Matrizen erreicht sind.
Was ist das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Die Summe der Produkte der entsprechenden Komponenten zweier gleich langer Vektoren, ob Zeile oder Spalte. Geometrisch hängt es mit dem Kosinus des Winkels zwischen beiden Vektoren zusammen: Ist das Skalarprodukt null, stehen die Vektoren orthogonal zueinander.
Kann ich berechnete Matrizen speichern und wiederverwenden?
Ja: Jede Matrix und jedes Ergebnis lässt sich im Verlauf speichern, der ohne Konto ausschließlich in Ihrem Browser liegt, und von dort nach A oder B zurückladen. Sie können auch einen Link mit bereits ausgefüllten Matrizen A und B teilen.
So funktionieren diese Operationen
Addition und Subtraktion: (A ± B)[i,j] = A[i,j] ± B[i,j], definiert, wenn A und B dieselben Dimensionen haben. Produkt: (A × B)[i,j] = Σₖ A[i,k] × B[k,j], definiert, wenn die Spaltenzahl von A der Zeilenzahl von B entspricht. Transponierte: Aᵀ[i,j] = A[j,i]. Determinante, per Laplace-Entwicklung nach der ersten Spalte: det(A) = Σᵢ (−1)ⁱ × A[i,0] × det(Minorᵢ), mit dem Basisfall det einer 2×2-Matrix = A[0,0]×A[1,1] − A[1,0]×A[0,1]. Skalarprodukt zweier Vektoren: a · b = Σᵢ aᵢ × bᵢ. Betrag eines Vektors: |a| = √(Σᵢ aᵢ²).
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