Algebra liniowa

Kalkulator macierzy i wektorów

Ustaw wymiary i wartości macierzy A oraz B, a następnie wybierz działanie: wynik aktualizuje się natychmiast i możesz przenieść go do A, do B lub zapisać w historii.

Do czego służą działania na macierzach i wektorach

Działania na macierzach i wektorach są podstawą algebry liniowej: służą do rozwiązywania układów równań, opisu przekształceń geometrycznych (obroty, skalowania, rzutowania), przetwarzania obrazów i sygnałów, a także stanowią język, w którym zapisana jest znaczna część algorytmów grafiki komputerowej i uczenia maszynowego.

Dodawanie i odejmowanie wymagają dwóch macierzy o tych samych wymiarach i działają element po elemencie. Iloczyn macierzowy jest natomiast określony tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy równa się liczbie wierszy drugiej, a wynik nie jest na ogół przemienny: A × B różni się od B × A nawet wtedy, gdy oba iloczyny da się obliczyć.

Wyznacznik jest określony tylko dla macierzy kwadratowych i wskazuje między innymi, czy macierz jest odwracalna: wyznacznik równy zeru oznacza, że powiązany układ liniowy nie ma jednoznacznego rozwiązania. Iloczyn skalarny i długość dotyczą z kolei wektorów (macierzy o jednym wierszu lub jednej kolumnie) i są podstawą obliczania kątów, rzutów i odległości.

Częste błędy

Mylenie iloczynu macierzowego z iloczynem element po elemencie: A × B wymaga, aby A miała tyle kolumn, ile B ma wierszy, a wynik ma wiersze A i kolumny B.
Zapominanie, że iloczyn macierzy nie jest przemienny: obliczenie A × B zamiast B × A może dać zupełnie inny wynik albo w ogóle nie być określone.
Próba obliczenia wyznacznika macierzy niekwadratowej: działanie jest określone tylko wtedy, gdy liczba wierszy równa się liczbie kolumn.

Najczęstsze pytania

Jaka jest różnica między sumą a iloczynem macierzy?

Suma działa element po elemencie i wymaga dwóch macierzy o tych samych wymiarach. Iloczyn łączy wiersze pierwszej macierzy z kolumnami drugiej: liczba kolumn A musi równać się liczbie wierszy B, a wynik ma tyle wierszy co A i tyle kolumn co B.

Jak oblicza się wyznacznik macierzy 3×3 lub większej?

Ten kalkulator stosuje rozwinięcie Laplace'a względem pierwszej kolumny: wyznacznik rozkłada się rekurencyjnie na wyznaczniki minorów powstałych przez usuwanie kolejno jednego wiersza i jednej kolumny, aż do macierzy 2×2.

Czym jest iloczyn skalarny dwóch wektorów?

To suma iloczynów odpowiadających sobie współrzędnych dwóch wektorów o tej samej długości, wierszowych lub kolumnowych. Geometrycznie wiąże się z cosinusem kąta między wektorami: jeśli iloczyn skalarny wynosi zero, wektory są prostopadłe.

Czy mogę zapisać i ponownie wykorzystać obliczone macierze?

Tak: każdą macierz lub wynik można zapisać w historii, przechowywanej wyłącznie w Twojej przeglądarce i bez konieczności zakładania konta, a stamtąd wczytać z powrotem do A lub B. Możesz też udostępnić link z gotowo wypełnionymi macierzami A i B.

Jak działają te operacje

Dodawanie i odejmowanie: (A ± B)[i,j] = A[i,j] ± B[i,j], określone, gdy A i B mają te same wymiary. Iloczyn: (A × B)[i,j] = Σₖ A[i,k] × B[k,j], określony, gdy liczba kolumn A równa się liczbie wierszy B. Transpozycja: Aᵀ[i,j] = A[j,i]. Wyznacznik, przez rozwinięcie Laplace'a względem pierwszej kolumny: det(A) = Σᵢ (−1)ⁱ × A[i,0] × det(minorᵢ), z przypadkiem bazowym det macierzy 2×2 = A[0,0]×A[1,1] − A[1,0]×A[0,1]. Iloczyn skalarny wektorów: a · b = Σᵢ aᵢ × bᵢ. Długość wektora: |a| = √(Σᵢ aᵢ²).

Wyznacznik i macierz odwrotna

Wyznacznik, rząd i macierz odwrotna macierzy kwadratowej do 12 × 12.

Układy równań liniowych

Rozwiązanie metodą Gaussa-Jordana: jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele albo układ sprzeczny.

Wartości i wektory własne

Wielomian charakterystyczny, rzeczywiste i zespolone wartości własne, wektory własne oraz ślad.

Rachunek wektorowy

Iloczyn skalarny i wektorowy, kąt między wektorami, rzut i pola.