Algèbre linéaire
Calculatrice de matrices et vecteurs
Définissez les dimensions et les valeurs des matrices A et B, puis choisissez une opération : le résultat se met à jour immédiatement et peut être reporté dans A, dans B ou enregistré dans l'historique.
À quoi servent les opérations sur matrices et vecteurs
Les opérations sur matrices et vecteurs sont à la base de l'algèbre linéaire : elles servent à résoudre des systèmes d'équations, à décrire des transformations géométriques (rotations, homothéties, projections), à traiter images et signaux, et constituent le langage dans lequel est écrite une grande partie des algorithmes d'infographie et d'apprentissage automatique.
L'addition et la soustraction exigent deux matrices de mêmes dimensions et agissent élément par élément. Le produit matriciel, en revanche, n'est défini que si le nombre de colonnes de la première matrice coïncide avec le nombre de lignes de la seconde, et le résultat n'est en général pas commutatif : A × B diffère de B × A même lorsque les deux produits sont calculables.
Le déterminant n'est défini que pour les matrices carrées et indique, entre autres, si la matrice est inversible : un déterminant nul signifie que le système linéaire associé n'a pas de solution unique. Le produit scalaire et la norme s'appliquent quant à eux aux vecteurs (matrices à une seule ligne ou une seule colonne) et fondent le calcul des angles, des projections et des distances.
Erreurs fréquentes
- Confondre le produit matriciel avec le produit élément par élément : A × B exige que A ait autant de colonnes que B a de lignes, et le résultat a les lignes de A et les colonnes de B.
- Oublier que le produit matriciel n'est pas commutatif : calculer A × B au lieu de B × A peut donner un résultat totalement différent, voire ne pas être défini.
- Vouloir calculer le déterminant d'une matrice non carrée : l'opération n'est définie que lorsque le nombre de lignes coïncide avec le nombre de colonnes.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la somme et le produit de matrices ?
La somme agit élément par élément et exige deux matrices de mêmes dimensions. Le produit combine les lignes de la première matrice avec les colonnes de la seconde : le nombre de colonnes de A doit coïncider avec le nombre de lignes de B, et le résultat a autant de lignes que A et autant de colonnes que B.
Comment calcule-t-on le déterminant d'une matrice 3×3 ou plus grande ?
Cette calculatrice utilise le développement de Laplace suivant la première colonne : le déterminant se décompose récursivement en déterminants des mineurs obtenus en supprimant une ligne et une colonne à la fois, jusqu'à parvenir à des matrices 2×2.
Qu'est-ce que le produit scalaire de deux vecteurs ?
C'est la somme des produits des composantes correspondantes de deux vecteurs de même longueur, ligne ou colonne. Géométriquement, il est lié au cosinus de l'angle entre les deux vecteurs : si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux.
Puis-je enregistrer et réutiliser les matrices que j'ai calculées ?
Oui : chaque matrice ou résultat peut être enregistré dans l'historique, conservé uniquement dans votre navigateur et sans compte, puis rechargé dans A ou dans B. Vous pouvez aussi partager un lien avec les matrices A et B déjà préremplies.
Comment fonctionnent ces opérations
Somme et soustraction : (A ± B)[i,j] = A[i,j] ± B[i,j], définies si A et B ont les mêmes dimensions. Produit : (A × B)[i,j] = Σₖ A[i,k] × B[k,j], défini si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Transposée : Aᵀ[i,j] = A[j,i]. Déterminant, par développement de Laplace suivant la première colonne : det(A) = Σᵢ (−1)ⁱ × A[i,0] × det(mineurᵢ), avec pour cas de base det d'une matrice 2×2 = A[0,0]×A[1,1] − A[1,0]×A[0,1]. Produit scalaire de vecteurs : a · b = Σᵢ aᵢ × bᵢ. Norme d'un vecteur : |a| = √(Σᵢ aᵢ²).
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Déterminant, rang et matrice inverse d'une matrice carrée jusqu'à 12 × 12.
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Polynôme caractéristique, valeurs propres réelles et complexes, vecteurs propres et trace.
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