Álgebra linear

Calculadora de matrizes e vetores

Defina tamanho e valores das matrizes A e B e escolha uma operação: o resultado se atualiza na hora e você pode mandá-lo de volta para A, para B ou salvá-lo no histórico.

Para que servem as operações com matrizes e vetores

As operações com matrizes e vetores são a base da álgebra linear: servem para resolver sistemas de equações, descrever transformações geométricas (rotação, escala, projeção), processar imagens e sinais, e são a linguagem por trás da maior parte da computação gráfica e dos algoritmos de aprendizado de máquina.

Soma e subtração exigem duas matrizes do mesmo tamanho e funcionam elemento a elemento. A multiplicação de matrizes, por outro lado, só é definida quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda, e o resultado em geral não é comutativo: A × B difere de B × A mesmo quando os dois produtos podem ser calculados.

O determinante só é definido para matrizes quadradas e indica, entre outras coisas, se a matriz é invertível: determinante zero significa que o sistema linear associado não tem solução única. O produto escalar e o módulo, por sua vez, se aplicam a vetores (matrizes com uma única linha ou coluna) e são a base para calcular ângulos, projeções e distâncias.

Erros frequentes

Confundir a multiplicação de matrizes com a multiplicação elemento a elemento: A × B exige que o número de colunas de A seja igual ao de linhas de B, e o resultado tem as linhas de A e as colunas de B.
Esquecer que a multiplicação de matrizes não é comutativa: calcular A × B em vez de B × A pode dar um resultado completamente diferente, ou nem ser possível.
Tentar calcular o determinante de uma matriz não quadrada: a operação só é definida quando o número de linhas é igual ao de colunas.

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre soma e multiplicação de matrizes?

A soma funciona elemento a elemento e exige duas matrizes do mesmo tamanho. A multiplicação combina as linhas da primeira matriz com as colunas da segunda: o número de colunas de A deve ser igual ao de linhas de B, e o resultado tem tantas linhas quanto A e tantas colunas quanto B.

Como se calcula o determinante de uma matriz 3×3 ou maior?

Esta calculadora usa o desenvolvimento de Laplace (por cofatores) pela primeira coluna: o determinante é decomposto recursivamente nos determinantes dos menores obtidos removendo uma linha e uma coluna de cada vez, até chegar a matrizes 2×2.

O que é o produto escalar de dois vetores?

É a soma dos produtos das componentes correspondentes de dois vetores de mesmo comprimento, sejam linha ou coluna. Geometricamente está ligado ao cosseno do ângulo entre os dois vetores: se o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.

Posso salvar e reutilizar as matrizes calculadas?

Sim: qualquer matriz ou resultado pode ser salvo no histórico, guardado só no seu navegador sem precisar de conta, e recarregado em A ou B a partir dele. Você também pode compartilhar um link com as matrizes A e B já preenchidas.

Como funcionam estas operações

Soma e subtração: (A ± B)[i,j] = A[i,j] ± B[i,j], definidas quando A e B têm as mesmas dimensões. Multiplicação: (A × B)[i,j] = Σₖ A[i,k] × B[k,j], definida quando o número de colunas de A é igual ao de linhas de B. Transposta: Aᵀ[i,j] = A[j,i]. Determinante, pelo desenvolvimento de Laplace na primeira coluna: det(A) = Σᵢ (−1)ⁱ × A[i,0] × det(menorᵢ), com o caso base de uma matriz 2×2: det = A[0,0]×A[1,1] − A[1,0]×A[0,1]. Produto escalar de vetores: a · b = Σᵢ aᵢ × bᵢ. Módulo de um vetor: |a| = √(Σᵢ aᵢ²).

Determinante e inversa

Determinante, posto e inversa de uma matriz quadrada até 12 × 12.

Sistemas de equações lineares

Eliminação de Gauss-Jordan: solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Autovalores e autovetores

Polinômio característico, autovalores reais e complexos, autovetores e traço.

Cálculo vetorial

Produto escalar e vetorial, ângulo entre dois vetores, projeção e áreas.