Álgebra lineal
Calculadora de matrices y vectores
Define las dimensiones y los valores de las matrices A y B y elige una operación: el resultado se actualiza al instante y puedes llevarlo a A, a B o guardarlo en el historial.
Para qué sirven las operaciones con matrices y vectores
Las operaciones con matrices y vectores son la base del álgebra lineal: se usan para resolver sistemas de ecuaciones, describir transformaciones geométricas (rotaciones, escalados, proyecciones), procesar imágenes y señales, y son el lenguaje en el que está escrita gran parte de los algoritmos de gráficos por ordenador y aprendizaje automático.
La suma y la resta requieren dos matrices de la misma dimensión y actúan elemento a elemento. El producto matricial, en cambio, solo está definido si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado no es en general conmutativo: A × B es distinto de B × A incluso cuando ambos productos son calculables.
El determinante solo está definido para matrices cuadradas e indica, entre otras cosas, si la matriz es invertible: un determinante igual a cero significa que el sistema lineal asociado no tiene solución única. El producto escalar y el módulo, por su parte, se aplican a los vectores (matrices con una sola fila o una sola columna) y son la base del cálculo de ángulos, proyecciones y distancias.
Errores frecuentes
- Confundir el producto matricial con el producto elemento a elemento: A × B exige que las columnas de A sean tantas como las filas de B, y el resultado tiene las filas de A y las columnas de B.
- Olvidar que el producto entre matrices no es conmutativo: calcular A × B en lugar de B × A puede dar un resultado completamente distinto, o ni siquiera ser calculable.
- Intentar calcular el determinante de una matriz no cuadrada: la operación solo está definida cuando el número de filas coincide con el de columnas.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre la suma y el producto de matrices?
La suma actúa elemento a elemento y requiere dos matrices de la misma dimensión. El producto combina filas de la primera matriz con columnas de la segunda: el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B, y el resultado tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 3×3 o mayor?
Esta calculadora usa el desarrollo de Laplace por la primera columna: el determinante se descompone recursivamente en los determinantes de los menores obtenidos eliminando una fila y una columna cada vez, hasta llegar a matrices 2×2.
¿Qué es el producto escalar entre dos vectores?
Es la suma de los productos de las componentes correspondientes de dos vectores de la misma longitud, fila o columna. Geométricamente está ligado al coseno del ángulo entre ambos vectores: si el producto escalar es cero, los vectores son ortogonales.
¿Puedo guardar y reutilizar las matrices que he calculado?
Sí: cada matriz o resultado puede guardarse en el historial, almacenado solo en tu navegador y sin necesidad de cuenta, y desde ahí volver a cargarse en A o en B. También puedes compartir un enlace con las matrices A y B ya rellenadas.
Cómo funcionan estas operaciones
Suma y resta: (A ± B)[i,j] = A[i,j] ± B[i,j], definidas si A y B tienen las mismas dimensiones. Producto: (A × B)[i,j] = Σₖ A[i,k] × B[k,j], definido si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Transpuesta: Aᵀ[i,j] = A[j,i]. Determinante, por desarrollo de Laplace por la primera columna: det(A) = Σᵢ (−1)ⁱ × A[i,0] × det(menorᵢ), con caso base det de una matriz 2×2 = A[0,0]×A[1,1] − A[1,0]×A[0,1]. Producto escalar entre vectores: a · b = Σᵢ aᵢ × bᵢ. Módulo de un vector: |a| = √(Σᵢ aᵢ²).
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