Calculadora de sistemas de equações lineares

A eliminação de Gauss-Jordan transforma o sistema em um equivalente — com as mesmas soluções — cuja resposta pode ser lida diretamente. Trabalha-se sobre a matriz ampliada, coeficientes mais termos independentes, usando só três operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, somar a uma linha um múltiplo de outra. No fim, cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo da sua coluna.

A classificação segue o teorema de Rouché-Capelli, que compara dois postos: o da matriz dos coeficientes e o da matriz ampliada. Se o segundo é maior que o primeiro, a eliminação produziu uma linha da forma 0 = c com c diferente de zero — uma contradição — e o sistema é impossível. Se os dois postos coincidem há soluções: exatamente uma quando o posto é igual ao número de incógnitas, infinitas quando é menor.

No caso indeterminado as incógnitas se dividem em dois grupos. As que correspondem a uma coluna com pivô são determinadas pelas outras; as demais são livres e podem assumir qualquer valor. A solução geral se escreve então como uma solução particular mais uma combinação linear das direções livres, uma para cada incógnita livre: é a mesma estrutura que em geometria descreve uma reta ou um plano de soluções.

O cálculo usa pivotamento parcial: a cada passo o pivô escolhido é o elemento de maior módulo da coluna, e não simplesmente o primeiro não nulo. Não é questão de eficiência, mas de confiabilidade: um pivô muito pequeno amplificaria cada erro de arredondamento seguinte, e é assim que um sistema perfeitamente resolúvel acaba parecendo impossível.