Calculatrice de systèmes d'équations linéaires

La méthode de Gauss-Jordan transforme le système en un système équivalent, qui a donc les mêmes solutions, mais dont la réponse se lit directement. On travaille sur la matrice augmentée — coefficients et seconds membres — avec trois seules manœuvres licites : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre différent de zéro, ajouter à une ligne un multiple d'une autre. À la fin, chaque pivot vaut 1 et est le seul élément non nul de sa colonne.

La classification suit le théorème de Rouché-Fontené, qui compare deux rangs : celui de la matrice des coefficients et celui de la matrice augmentée. Si le second dépasse le premier, l'élimination a produit une ligne du type 0 = c avec c différent de zéro, c'est-à-dire une contradiction, et le système est impossible. Si les deux rangs coïncident, il y a des solutions : une seule quand le rang égale le nombre d'inconnues, une infinité quand il lui est inférieur.

Dans le cas indéterminé, les inconnues se répartissent en deux groupes. Celles qui correspondent à une colonne pivot sont déterminées par les autres ; les restantes sont libres et peuvent prendre n'importe quelle valeur. La solution générale s'écrit alors comme une solution particulière augmentée d'une combinaison linéaire des directions libres, une par inconnue libre : c'est la structure même qui, en géométrie, décrit une droite ou un plan de solutions.

Le calcul emploie le pivotage partiel : à chaque étape, on choisit comme pivot l'élément de plus grand module dans la colonne, et non simplement le premier non nul. Ce n'est pas un détail d'efficacité mais de fiabilité : un pivot très petit amplifierait toutes les erreurs d'arrondi commises ensuite, et c'est ainsi qu'un système parfaitement soluble finit par paraître impossible.