Kalkulator układów równań liniowych (Gauss-Jordan)

Jak rozwiązuje się układ równań liniowych

Metoda Gaussa-Jordana przekształca układ w układ równoważny, czyli mający te same rozwiązania, ale taki, z którego odpowiedź odczytuje się wprost. Pracuje się na macierzy rozszerzonej — współczynniki plus wyrazy wolne — wykonując tylko trzy dozwolone ruchy: zamianę dwóch wierszy, pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera oraz dodanie do wiersza wielokrotności innego. Na koniec każdy element główny wynosi 1 i jest jedynym niezerowym elementem w swojej kolumnie.

Klasyfikacja opiera się na twierdzeniu Kroneckera-Capellego, które porównuje dwa rzędy: rząd macierzy współczynników i rząd macierzy rozszerzonej. Jeśli drugi jest większy od pierwszego, eliminacja dała wiersz postaci 0 = c przy c różnym od zera, czyli sprzeczność, i układ nie ma rozwiązań. Jeśli oba rzędy są równe, rozwiązania istnieją: jedno, gdy rząd równa się liczbie niewiadomych, i nieskończenie wiele, gdy jest od niej mniejszy.

W przypadku nieoznaczonym niewiadome dzielą się na dwie grupy. Te odpowiadające kolumnom z elementem głównym są wyznaczone przez pozostałe; reszta jest swobodna i może przyjąć dowolną wartość. Rozwiązanie ogólne zapisuje się wtedy jako rozwiązanie szczególne powiększone o kombinację liniową kierunków swobodnych, po jednym na każdą niewiadomą swobodną: to ta sama struktura, która w geometrii opisuje prostą albo płaszczyznę rozwiązań.

Obliczenie korzysta z częściowego wyboru elementu głównego: w każdym kroku na element główny wybiera się ten o największym module w kolumnie, a nie po prostu pierwszy niezerowy. To nie kwestia wydajności, lecz wiarygodności: bardzo mały element główny wzmocniłby każdy błąd zaokrąglenia popełniony później — i właśnie tak układ w pełni rozwiązywalny zaczyna wyglądać na sprzeczny.

Częste błędy

Pomijanie kolumny wyrazów wolnych przy wykonywaniu operacji: otrzymany układ przestaje być równoważny wyjściowemu.
Mnożenie wiersza przez zero: taka operacja jest nieodwracalna i usuwa równanie, zmieniając zbiór rozwiązań.
Wnioskowanie, że układ o większej liczbie równań niż niewiadomych jest zawsze sprzeczny: jeśli nadmiarowe równania są kombinacjami pozostałych, układ nadal ma rozwiązanie.
Mylenie układu sprzecznego z nieoznaczonym: wiersz złożony z samych zer, łącznie z wyrazem wolnym, oznacza równanie nadmiarowe, a nie sprzeczność.
Uznawanie znikomo małego elementu głównego za niezerowy w obliczeniach numerycznych: poniżej progu tolerancji należy traktować go jak zero, inaczej rząd zostanie zawyżony.

Najczęstsze pytania

Co mówi twierdzenie Kroneckera-Capellego?

Układ równań liniowych ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników równa się rzędowi macierzy rozszerzonej. Jeśli ta wspólna wartość pokrywa się z liczbą niewiadomych, rozwiązanie jest jedno; w przeciwnym razie rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Czym różni się metoda Gaussa od metody Gaussa-Jordana?

Eliminacja Gaussa kończy się na postaci trójkątnej i wymaga podstawiania wstecz, aby wyznaczyć niewiadome. Metoda Gaussa-Jordana idzie dalej, do postaci zredukowanej, zerując także elementy nad elementami głównymi: rozwiązanie odczytuje się wprost z ostatniej kolumny.

Czym są niewiadome swobodne?

To niewiadome, w których kolumnach nie ma elementu głównego. Mogą przyjąć dowolną wartość, a przy każdym takim wyborze pozostałe niewiadome są jednoznacznie wyznaczone: właśnie dlatego układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Czy mogę rozwiązywać układy o różnej liczbie równań i niewiadomych?

Tak. Macierz nie musi być kwadratowa: liczbę równań i niewiadomych ustawiasz dowolnie, do 12 każdej, a metoda poprawnie klasyfikuje również układy nadokreślone i niedookreślone.

Jak odczytać rozwiązanie układu nieoznaczonego?

Kalkulator pokazuje rozwiązanie szczególne, otrzymane przez przyjęcie zera za wszystkie niewiadome swobodne, oraz jeden kierunek swobodny dla każdej z nich. Każde rozwiązanie układu to rozwiązanie szczególne powiększone o dowolną kombinację liniową tych kierunków.

Jak działa to obliczenie

Macierz rozszerzona [A | b] jest sprowadzana do postaci Gaussa-Jordana z częściowym wyborem elementu głównego: w każdej kolumnie na element główny wybiera się ten o największym module, normalizuje wiersz, dzieląc go przez ten element, i zeruje wszystkie pozostałe elementy kolumny. Rząd to liczba elementów głównych znalezionych w kolumnach współczynników; rząd macierzy rozszerzonej zlicza je wszystkie. Porównanie obu rzędów ze sobą oraz z liczbą niewiadomych daje klasyfikację. Kierunki swobodne wyznacza się, przyjmując 1 dla kolejno jednej niewiadomej swobodnej i 0 dla pozostałych.

Macierze i wektory

Suma, iloczyn, wyznacznik, transpozycja, iloczyn skalarny i długość macierzy oraz wektorów.

Wyznacznik i macierz odwrotna

Wyznacznik, rząd i macierz odwrotna macierzy kwadratowej do 12 × 12.

Wartości i wektory własne

Wielomian charakterystyczny, rzeczywiste i zespolone wartości własne, wektory własne oraz ślad.

Rachunek wektorowy

Iloczyn skalarny i wektorowy, kąt między wektorami, rzut i pola.