Rechner für lineare Gleichungssysteme (Gauß-Jordan)

Wie ein lineares Gleichungssystem gelöst wird

Das Gauß-Jordan-Verfahren überführt das System in ein äquivalentes — eines mit denselben Lösungen —, dessen Antwort sich direkt ablesen lässt. Gearbeitet wird an der erweiterten Matrix aus Koeffizienten und Absolutgliedern, mit nur drei zulässigen Umformungen: zwei Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren, zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen addieren. Am Ende ist jedes Pivotelement 1 und der einzige von null verschiedene Eintrag seiner Spalte.

Die Klassifikation folgt dem Satz von Rouché-Capelli, der zwei Ränge vergleicht: den der Koeffizientenmatrix und den der erweiterten Matrix. Ist der zweite größer als der erste, hat die Elimination eine Zeile der Form 0 = c mit c ungleich null erzeugt, also einen Widerspruch, und das System ist unlösbar. Stimmen beide Ränge überein, gibt es Lösungen: genau eine, wenn der Rang der Anzahl der Unbekannten entspricht, unendlich viele, wenn er kleiner ist.

Im mehrdeutigen Fall zerfallen die Unbekannten in zwei Gruppen. Die zu einer Pivotspalte gehörenden sind durch die übrigen bestimmt; die restlichen sind frei und dürfen jeden Wert annehmen. Die allgemeine Lösung schreibt sich dann als partikuläre Lösung plus eine Linearkombination der freien Richtungen, eine je freier Unbekannten: dieselbe Struktur, die in der Geometrie eine Gerade oder Ebene von Lösungen beschreibt.

Die Berechnung nutzt Spaltenpivotisierung: In jedem Schritt wird als Pivot der betragsgrößte Eintrag der Spalte gewählt, nicht einfach der erste von null verschiedene. Das ist keine Frage der Effizienz, sondern der Zuverlässigkeit: Ein sehr kleines Pivotelement würde jeden danach begangenen Rundungsfehler verstärken — und so wirkt ein durchaus lösbares System am Ende unlösbar.

Häufige Fehler

Vergessen, die Umformung auch auf die Spalte der Absolutglieder anzuwenden: Das entstehende System ist dann nicht mehr äquivalent zum ursprünglichen.
Eine Zeile mit null multiplizieren: Die Umformung ist nicht umkehrbar, sie löscht eine Gleichung und verändert die Lösungsmenge.
Schließen, ein System mit mehr Gleichungen als Unbekannten sei stets unlösbar: Sind die überzähligen Gleichungen Kombinationen der übrigen, bleibt es lösbar.
Den unlösbaren mit dem mehrdeutigen Fall verwechseln: Eine vollständig verschwindende Zeile samt Absolutglied kennzeichnet eine überflüssige Gleichung, keinen Widerspruch.
Ein winziges Pivotelement in numerischer Rechnung als von null verschieden ansehen: Unterhalb der Toleranzschwelle ist es als null zu behandeln, sonst fällt der Rang zu hoch aus.

Häufige Fragen

Was besagt der Satz von Rouché-Capelli?

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem der erweiterten Matrix ist. Stimmt dieser gemeinsame Wert zudem mit der Anzahl der Unbekannten überein, ist die Lösung eindeutig, andernfalls gibt es unendlich viele.

Was unterscheidet das Gauß- vom Gauß-Jordan-Verfahren?

Die Gauß-Elimination endet bei der Dreiecksform und benötigt eine Rückwärtssubstitution, um die Unbekannten zu bestimmen. Gauß-Jordan führt bis zur reduzierten Form weiter und räumt auch oberhalb der Pivotelemente aus: Die Lösung steht dann direkt in der letzten Spalte.

Was sind freie Unbekannte?

Es sind die Unbekannten, deren Spalten kein Pivotelement enthalten. Sie dürfen jeden Wert annehmen, und zu jeder Wahl sind die übrigen Unbekannten bestimmt: Genau das macht die Lösungen eines mehrdeutigen Systems unendlich.

Kann ich Systeme mit unterschiedlicher Zahl von Gleichungen und Unbekannten lösen?

Ja. Die Matrix muss nicht quadratisch sein: Sie können die Anzahl der Gleichungen und Unbekannten frei bis jeweils 12 wählen, und das Verfahren klassifiziert auch über- oder unterbestimmte Systeme korrekt.

Wie liest man die Lösung eines mehrdeutigen Systems?

Der Rechner zeigt eine partikuläre Lösung, die man erhält, indem man alle freien Unbekannten auf null setzt, und je eine freie Richtung dazu. Jede Lösung des Systems ist die partikuläre plus eine beliebige Linearkombination dieser Richtungen.

So funktioniert diese Berechnung

Die erweiterte Matrix [A | b] wird mit Spaltenpivotisierung auf Gauß-Jordan-Form gebracht: In jeder Spalte wird der betragsgrößte Eintrag als Pivot gewählt, die Zeile durch das Pivotelement geteilt und jeder andere Eintrag der Spalte ausgeräumt. Der Rang ist die Anzahl der in den Koeffizientenspalten gefundenen Pivotelemente; der Rang der erweiterten Matrix zählt alle. Aus dem Vergleich beider Ränge miteinander und mit der Anzahl der Unbekannten ergibt sich die Klassifikation. Die freien Richtungen entstehen, indem jeweils eine freie Unbekannte auf 1 und die übrigen auf 0 gesetzt werden.

Matrizen und Vektoren

Summe, Produkt, Determinante, Transponierte, Skalarprodukt und Betrag von Matrizen und Vektoren.

Determinante und Inverse

Determinante, Rang und inverse Matrix einer quadratischen Matrix bis 12 × 12.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Charakteristisches Polynom, reelle und komplexe Eigenwerte, Eigenvektoren und Spur.

Vektorrechnung

Skalar- und Kreuzprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren, Projektion und Flächen.