Calculadora de sistemas de ecuaciones lineales

El método de Gauss-Jordan transforma el sistema en otro equivalente, es decir con las mismas soluciones, pero cuya respuesta se lee directamente. Se opera sobre la matriz ampliada — coeficientes más términos independientes — con solo tres movimientos lícitos: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar a una fila un múltiplo de otra. Al final cada pivote vale 1 y es el único elemento no nulo de su columna.

La clasificación sigue el teorema de Rouché-Frobenius, que compara dos rangos: el de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada. Si el segundo es mayor que el primero, la eliminación ha producido una fila del tipo 0 = c con c distinto de cero, es decir una contradicción, y el sistema es incompatible. Si ambos rangos coinciden hay soluciones: una sola cuando el rango iguala al número de incógnitas, infinitas cuando es inferior.

En el caso indeterminado las incógnitas se dividen en dos grupos. Las que corresponden a una columna pivote quedan determinadas por las demás; las restantes son libres y pueden tomar cualquier valor. La solución general se escribe entonces como una solución particular más una combinación lineal de las direcciones libres, una por cada incógnita libre: es la misma estructura que en geometría describe una recta o un plano de soluciones.

El cálculo usa pivoteo parcial: en cada paso se elige como pivote el elemento de mayor módulo de la columna, no simplemente el primero distinto de cero. No es un detalle de eficiencia sino de fiabilidad: un pivote muy pequeño amplificaría cualquier error de redondeo cometido después, y así es como un sistema perfectamente resoluble acaba pareciendo incompatible.