Calculadora de vetores: produto escalar, vetorial e ângulo

As duas formas de multiplicar vetores

Somar dois vetores é fácil — somam-se as componentes —, mas há duas formas diferentes de multiplicá-los, e elas respondem a perguntas diferentes. O produto escalar u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z devolve um número, e esse número é |u||v|·cos θ: mede o quanto os dois apontam no mesmo sentido. É zero quando são perpendiculares, e é o cálculo por trás do trabalho de uma força ao longo de um deslocamento e da projeção de um vetor sobre outro.

O produto vetorial u × v devolve outro vetor, perpendicular aos dois, de módulo |u||v|·sen θ. Esse módulo é a área do paralelogramo que eles geram — metade dela é o triângulo —, enquanto a direção dá a normal ao plano que determinam. Ele só existe no espaço: no plano sobra apenas a componente z, que é a área com sinal, positiva quando v fica à esquerda de u.

O ângulo entre dois vetores pode ser obtido de qualquer um dos produtos, mas não com a mesma qualidade. O produto escalar dá cos θ, e o cosseno é plano perto de 0° e de 180°: ali, um erro de arredondamento na nona casa move o ângulo na quinta. Esta calculadora usa o arco tangente do módulo do produto vetorial contra o produto escalar, que continua preciso nos dois extremos — é por isso que dois vetores quase paralelos recebem aqui um ângulo confiável.

Erros frequentes

Trocar os dois produtos. O escalar dá um número, o vetorial dá um vetor: se a resposta pedida é uma área ou uma normal, é o segundo; se é trabalho ou projeção, é o primeiro.
Supor que u × v é igual a v × u. O produto vetorial muda de sinal quando os fatores se invertem: u × v = −(v × u). O escalar é simétrico, e é daí que vem o hábito errado.
Confundir o versor com o vetor. O versor aponta na mesma direção, mas tem módulo 1, e sai de dividir cada componente pelo módulo. O vetor nulo é o único que não tem versor, porque não tem direção a manter.

Perguntas frequentes

Como se calcula o ângulo entre dois vetores?

De u · v = |u||v|·cos θ, então θ = arccos(u · v / (|u||v|)). Perto de 0° e de 180° essa fórmula perde precisão, porque ali o cosseno é plano: θ = atan2(|u × v|, u · v) é mais estável, e é a forma usada aqui.

Quando dois vetores são perpendiculares?

Quando o produto escalar é zero. Não é preciso o ângulo: se uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z dá zero e nenhum dos dois é o vetor nulo, o ângulo é de 90°.

Como saber se dois vetores são paralelos?

Quando o produto vetorial se anula, ou seja, quando um é múltiplo do outro. No plano basta verificar que uₓv_y − u_yvₓ é zero. Atenção: vetores com sentidos opostos também são paralelos, e o ângulo entre eles é de 180°.

Para que serve a projeção de um vetor sobre outro?

Para decompor um vetor em duas partes: a que está na direção de v e a perpendicular a ela. A primeira é (u · v / |v|²)·v e a segunda é o que sobra. É o passo por trás da decomposição de forças no plano inclinado e da ortogonalização de uma base.

Como se calcula a área de um triângulo a partir de dois vetores?

É metade do módulo do produto vetorial: área = |u × v|/2. No plano isso se reduz a |uₓv_y − u_yvₓ|/2. Dados três vértices A, B e C, tome u = B − A e v = C − A.

Como funciona este cálculo

Módulo: |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²). Versor: û = u/|u|, definido só quando |u| ≠ 0. Soma e diferença: componente a componente. Produto escalar: u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v|·cos θ. Produto vetorial: u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ), com |u × v| = |u||v|·sen θ; no plano sobra só a componente z. Ângulo: θ = atan2(|u × v|, u · v), preferido ao arco cosseno porque continua preciso perto de 0° e de 180°. Área do paralelogramo: |u × v|; do triângulo, a metade. Projeção de u sobre v: componente escalar u · v/|v|, vetorial (u · v/|v|²)·v; a parte perpendicular é u menos essa projeção. Distância entre as pontas: |u − v|. Perpendiculares quando u · v = 0; paralelos quando |u × v| = 0. Os dois testes usam uma tolerância proporcional a |u||v|, porque em ponto flutuante um produto que deveria se anular quase nunca dá exatamente zero.

Reta por dois pontos

Equação da reta na forma reduzida e geral, coeficiente angular e interceptos.

Distância e ponto médio

Distância entre dois pontos do plano cartesiano e coordenadas do ponto médio.

Cônicas

Reconhece a cônica pela equação geral e encontra centro, focos, eixos, excentricidade, assíntotas e forma canônica.

Matrizes e vetores

Soma, produto, determinante, transposta, produto escalar e módulo para matrizes e vetores.