Lineare Algebra
Rechner für Vektorrechnung
Gib die Komponenten zweier Vektoren in der Ebene oder im Raum ein: Betrag, Einheitsvektor, Skalar- und Kreuzprodukt, Winkel, Projektion und Flächen aktualisieren sich sofort, und in der Ebene siehst du beide Vektoren mit dem Parallelogramm ihrer Summe.
Die beiden Arten, Vektoren zu multiplizieren
Zwei Vektoren zu addieren ist leicht – man addiert die Komponenten –, aber multiplizieren lassen sie sich auf zwei verschiedene Arten, und die beantworten verschiedene Fragen. Das Skalarprodukt u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z liefert eine Zahl, und diese Zahl ist |u||v|·cos θ: sie misst, wie weit die beiden in dieselbe Richtung zeigen. Sie ist null, wenn die Vektoren senkrecht stehen, und sie steckt hinter der Arbeit einer Kraft längs eines Weges wie hinter der Projektion eines Vektors auf einen anderen.
Das Kreuzprodukt u × v liefert dagegen wieder einen Vektor, senkrecht auf beiden, mit dem Betrag |u||v|·sin θ. Dieser Betrag ist die Fläche des Parallelogramms, das die beiden aufspannen – die Hälfte davon ist das Dreieck –, während die Richtung die Normale der von ihnen bestimmten Ebene angibt. Es gibt es nur im Raum: in der Ebene bleibt allein die z-Komponente übrig, die vorzeichenbehaftete Fläche, positiv wenn v links von u liegt.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren lässt sich aus beiden Produkten gewinnen, aber nicht gleich genau. Das Skalarprodukt gibt cos θ, und der Kosinus ist nahe 0° und 180° flach: dort verschiebt ein Rundungsfehler in der neunten Stelle den Winkel in der fünften. Dieser Rechner nimmt stattdessen den Arkustangens aus dem Betrag des Kreuzprodukts gegen das Skalarprodukt, der an beiden Enden scharf bleibt – deshalb bekommen zwei fast parallele Vektoren hier einen verlässlichen Winkel.
Häufige Fehler
- Die beiden Produkte vertauschen. Das Skalarprodukt gibt eine Zahl, das Kreuzprodukt einen Vektor: ist eine Fläche oder eine Normale gesucht, braucht es das zweite, ist es eine Arbeit oder eine Projektion, das erste.
- Annehmen, u × v sei gleich v × u. Das Kreuzprodukt wechselt beim Vertauschen der Faktoren das Vorzeichen: u × v = −(v × u). Das Skalarprodukt ist dagegen symmetrisch, und daher kommt die falsche Gewohnheit.
- Den Einheitsvektor mit dem Vektor verwechseln. Der Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung, hat aber den Betrag 1, und entsteht, indem man jede Komponente durch den Betrag teilt. Nur der Nullvektor hat keinen, weil er keine Richtung zu bewahren hat.
Häufige Fragen
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Aus u · v = |u||v|·cos θ folgt θ = arccos(u · v / (|u||v|)). Nahe 0° und 180° verliert diese Formel an Genauigkeit, weil der Kosinus dort flach ist: θ = atan2(|u × v|, u · v) ist stabiler und ist die hier verwendete Form.
Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander?
Wenn ihr Skalarprodukt null ist. Der Winkel wird dafür nicht gebraucht: ergibt uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z null und ist keiner der beiden der Nullvektor, beträgt der Winkel 90°.
Woran erkennt man, ob zwei Vektoren parallel sind?
Daran, dass das Kreuzprodukt verschwindet, also wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. In der Ebene genügt die Prüfung, ob uₓv_y − u_yvₓ null ergibt. Achtung: auch entgegengesetzt zeigende Vektoren sind parallel, und dann beträgt der Winkel 180°.
Wozu dient die Projektion eines Vektors auf einen anderen?
Um einen Vektor in zwei Teile zu zerlegen: den längs v und den senkrecht dazu. Der erste ist (u · v / |v|²)·v, der zweite ist der Rest. Es ist der Schritt hinter der Zerlegung von Kräften an der schiefen Ebene und hinter der Orthogonalisierung einer Basis.
Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks aus zwei Vektoren?
Sie ist der halbe Betrag des Kreuzprodukts: Fläche = |u × v|/2. In der Ebene wird daraus |uₓv_y − u_yvₓ|/2. Sind die drei Eckpunkte A, B und C, nimmt man u = B − A und v = C − A.
Wie diese Berechnung funktioniert
Betrag: |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²). Einheitsvektor: û = u/|u|, nur definiert wenn |u| ≠ 0. Summe und Differenz: komponentenweise. Skalarprodukt: u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v|·cos θ. Kreuzprodukt: u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ), mit |u × v| = |u||v|·sin θ; in der Ebene bleibt nur die z-Komponente. Winkel: θ = atan2(|u × v|, u · v), dem Arkuskosinus vorgezogen, weil er nahe 0° und 180° genau bleibt. Parallelogrammfläche: |u × v|; Dreieck: die Hälfte. Projektion von u auf v: skalare Komponente u · v/|v|, Vektor (u · v/|v|²)·v; der senkrechte Teil ist u minus dieser Projektion. Abstand der Spitzen: |u − v|. Senkrecht, wenn u · v = 0; parallel, wenn |u × v| = 0. Beide Prüfungen verwenden eine Toleranz proportional zu |u||v|, weil ein Produkt, das verschwinden sollte, in Gleitkomma fast nie genau null ergibt.
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