Physik
RLC-Rechner: Impedanz, Resonanz und Einschwingvorgänge
Blindwiderstände, Impedanz, Resonanz, Leistungsfaktor sowie RC- und RL-Zeitkonstanten. Lösche die Unbekannte, und die Formel stellt sich um — auch nach der Frequenz, auch nach dem Bauteil.
Entgegengesetzte Blindwiderstände — und die Frequenz, bei der sie sich aufheben
Bei Gleichstrom ist ein Kondensator eine Unterbrechung und eine Spule nur ein Draht. Bei Wechselstrom behindern beide den Stromfluss, aber in entgegengesetztem Sinn und frequenzabhängig: der induktive Blindwiderstand wächst mit f, der kapazitive fällt. Es ist kein echter Widerstand, denn er verbraucht keine Energie: er speichert sie eine Viertelperiode lang und gibt sie in der nächsten zurück.
Weil die beiden Blindwiderstände den Strom in entgegengesetzte Richtungen verschieben, gehen sie mit Minuszeichen in die Impedanz ein: Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²). Es gibt daher eine Frequenz, bei der sie sich genau aufheben und die Impedanz auf ihren kleinstmöglichen Wert sinkt, den reinen Widerstand. Das ist die Resonanz, f₀ = 1/(2π√(LC)) — und so sucht ein Radio einen Sender aus allen heraus, die die Antenne erreichen.
Der Leistungsfaktor misst, wie viel des fließenden Stroms wirklich nützt. Ein Industriemotor mit cos φ = 0,7 zieht 43% mehr Strom aus dem Netz, als für dieselbe Nutzleistung nötig wäre, und die Leitungsverluste wachsen mit dem Quadrat des Stroms. Deshalb zahlen Großabnehmer einen Aufschlag auf den Leistungsfaktor und stellen Kondensatorbatterien zur Korrektur auf.
Häufige Fehler
- Die Blindwiderstände wie Wirkwiderstände zur Impedanz addieren: sie müssen erst voneinander abgezogen und dann nach Pythagoras mit R zusammengesetzt werden.
- Schein- und Wirkleistung verwechseln: die erste, in Voltampere, muss das Netz liefern; die zweite, in Watt, setzt die Last tatsächlich um.
- Annehmen, mehr Widerstand mache den RL-Vorgang langsamer: die Konstante ist L/R, ein größerer Widerstand macht ihn also schneller. Beim RC-Glied gilt das Gegenteil.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Impedanz einer RLC-Reihenschaltung?
Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²), mit Xʟ = 2πfL und Xᴄ = 1/(2πfC). Die Blindwiderstände werden voneinander abgezogen, weil sie den Strom gegensinnig verschieben, und erst das Ergebnis wird mit R zusammengesetzt.
Wie lautet die Formel der Resonanzfrequenz?
f₀ = 1/(2π√(LC)). Bei dieser Frequenz sind beide Blindwiderstände gleich groß und heben sich auf, und die Impedanz sinkt auf den reinen Widerstand: der Strom ist maximal.
Was ist der Leistungsfaktor?
Er ist cos φ, der Kosinus der Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Er sagt, welcher Anteil der Scheinleistung zu Wirkleistung wird: bei cos φ = 1 der ganze, bei cos φ = 0 gar keiner.
Wie lange dauert ein RC-Einschwingvorgang?
Die Zeitkonstante ist τ = R·C. Nach τ ist der Kondensator bei 63%, nach 3τ bei 95% und nach 5τ bei 99%: üblicherweise gilt er nach fünf Zeitkonstanten als abgeschlossen.
Wie diese Berechnung funktioniert
Induktiver Blindwiderstand: Xʟ = 2π·f·L = ω·L. Kapazitiver Blindwiderstand: Xᴄ = 1/(2π·f·C) = 1/(ω·C). Impedanz einer RLC-Reihenschaltung: Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²). Phasenverschiebung: tan φ = (Xʟ − Xᴄ)/R. Resonanzfrequenz: f₀ = 1/(2π·√(L·C)), dort ist Xʟ = Xᴄ und Z = R. Wirkleistung: P = U·I·cos φ, in Watt. Scheinleistung: S = U·I, in Voltampere. Blindleistung: Q = U·I·sin φ, in var. RC-Glied: τ = R·C, Ladung q(t) = Q(1 − e^(−t/τ)). RL-Glied: τ = L/R, Strom i(t) = I(1 − e^(−t/τ)). Nach τ sind 63% erreicht, nach 3τ 95%, nach 5τ 99%.
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