Fisica
Calcolatrice di dinamica del corpo rigido
Momento d'inerzia, teorema di Steiner, momento torcente, seconda legge per le rotazioni, momento angolare e rotolamento. Scegli la relazione, lascia vuoto il campo che l'esercizio chiede e la formula si inverte da sola.
Le rotazioni sono la dinamica, con altri nomi
Ogni grandezza del moto rettilineo ha una gemella nelle rotazioni. La posizione diventa un angolo, la velocità una velocità angolare, la forza un momento torcente, la massa un momento d'inerzia, la quantità di moto un momento angolare. Anche le leggi si trasferiscono intere: F = m·a diventa τ = I·α, e la conservazione della quantità di moto diventa la conservazione del momento angolare. Chi ha capito la dinamica ha già capito metà del corpo rigido.
La differenza vera è il momento d'inerzia, che a differenza della massa non è una proprietà del solo corpo ma del corpo e dell'asse. Dipende da quanta massa c'è e soprattutto da quanto è lontana dall'asse, al quadrato. Per le forme regolari si scrive I = k·m·r², e il fattore k riassume la geometria: 1 per un anello, ½ per un disco, ⅖ per una sfera piena. Se l'asse non passa per il baricentro si aggiunge m·d², ed è il teorema di Steiner.
Il rotolamento è l'esercizio in cui tutto si incontra. Un corpo che rotola senza strisciare deve mettere in rotazione parte dell'energia che guadagna scendendo, e più il suo k è grande più ne spende: per questo accelera meno di un blocco che scivola senza attrito, con a = g·sin θ / (1 + k). L'attrito statico è indispensabile — senza, il corpo striscerebbe — ma non compie lavoro, perché il punto di contatto è fermo istante per istante.
Errori frequenti
- Usare il momento d'inerzia rispetto al baricentro quando l'asse è altrove: un'asta che ruota attorno a un estremo ha I = mL²/3, non mL²/12.
- Calcolare il momento torcente con la distanza dal punto di applicazione invece che con la sua componente perpendicolare alla forza: serve il seno dell'angolo, o il braccio vero.
- Dare la velocità angolare in giri al minuto a formule che la vogliono in radianti al secondo: un giro è 2π radianti.
- Pensare che nella pattinatrice che chiude le braccia si conservi l'energia: si conserva il momento angolare, e l'energia cinetica aumenta, pagata dal lavoro dei muscoli.
Domande frequenti
Che cos'è il momento d'inerzia?
È la resistenza di un corpo a cambiare la propria rotazione, come la massa è la resistenza a cambiare la velocità. Si calcola sommando ogni pezzetto di massa per il quadrato della sua distanza dall'asse, per cui la stessa massa pesa molto di più se è lontana: un anello è più difficile da far girare di un disco con la stessa massa e lo stesso raggio.
Quando si usa il teorema di Steiner?
Quando l'asse di rotazione non passa per il baricentro ma è parallelo a uno che ci passa. Il momento d'inerzia cresce di m·d², dove d è la distanza fra i due assi. Un esempio classico è l'asta: mL²/12 attorno al centro, mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 attorno a un estremo.
Chi arriva prima in fondo al piano, una sfera o un cilindro?
La sfera piena, qualunque siano massa e raggio dei due. Accelerano come g·sin θ / (1 + k), e la sfera ha k = ⅖ mentre il cilindro pieno ha k = ½: la sfera mette meno energia nella rotazione e ne lascia di più alla traslazione. Un cilindro cavo, con k = 1, arriva ultimo.
Perché la pattinatrice gira più veloce chiudendo le braccia?
Perché sul ghiaccio non agiscono momenti esterni rilevanti e il momento angolare L = I·ω resta costante. Avvicinando la massa all'asse il momento d'inerzia diminuisce, e la velocità angolare aumenta nella stessa proporzione. L'energia cinetica invece aumenta: il lavoro lo fanno le braccia che tirano verso l'interno.
Come si passa dai giri al minuto ai radianti al secondo?
Si moltiplica per 2π e si divide per 60: un giro è 2π radianti e un minuto 60 secondi. Quindi 1 giro/min vale circa 0,1047 rad/s e 3000 giri/min circa 314 rad/s. Questa pagina mostra comunque i giri al minuto nel riepilogo del momento angolare.
Come funziona questo calcolo
Momento d'inerzia di una forma regolare: I = k·m·r², con k = 1 per l'anello, ½ per il disco, ⅖ per la sfera piena, ⅔ per la sfera cava, 1/12 per l'asta attorno al centro e ⅓ attorno a un estremo (con r pari alla lunghezza); il raggio giratore è √k·r. Teorema di Steiner: I = I_cm + m·d². Momento torcente: τ = r·F·sin θ; ricavando l'angolo si ottiene quello acuto, perché θ e 180° − θ danno lo stesso momento. Seconda legge per le rotazioni: τ = I·α. Momento angolare: L = I·ω, con energia cinetica di rotazione ½·I·ω², giri al minuto 60ω/2π e periodo 2π/ω. Conservazione: I₁·ω₁ = I₂·ω₂, e poiché K = L²/2I l'energia cambia nel rapporto I₁/I₂. Rotolamento senza strisciamento sul piano inclinato: a = g·sin θ / (1 + k), confrontata con g·sin θ del corpo che scivola senza attrito; la quota rotazionale dell'energia è k/(1 + k) e il coefficiente d'attrito statico minimo per non strisciare è k·tan θ/(1 + k).
Calcoli collegati
Moto rettilineo e parabolico
Moto uniforme, uniformemente accelerato, caduta libera e lancio obliquo.
Dinamica e leggi di Newton
Seconda legge, peso, attrito, piano inclinato, forza centripeta e impulso, con la formula che si inverte da sola.
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Gravitazione universale
Legge di Newton, g sulla superficie, velocità orbitale e di fuga, terza legge di Keplero ed energia potenziale gravitazionale.