Fizyka
Kalkulator dynamiki bryły sztywnej
Moment bezwładności, twierdzenie Steinera, moment siły, druga zasada dynamiki ruchu obrotowego, moment pędu i toczenie. Wybierz zależność, zostaw puste pole, o które pyta zadanie, a wzór sam się przekształci.
Ruch obrotowy to dynamika pod innymi nazwami
Każda wielkość ruchu prostoliniowego ma bliźniaczkę w ruchu obrotowym. Położenie staje się kątem, prędkość prędkością kątową, siła momentem siły, masa momentem bezwładności, pęd momentem pędu. Prawa też przechodzą w całości: F = m·a staje się M = I·ε, a zasada zachowania pędu — zasadą zachowania momentu pędu. Kto zrozumiał dynamikę, zrozumiał już połowę bryły sztywnej.
Prawdziwą różnicą jest moment bezwładności, który w odróżnieniu od masy nie jest cechą samego ciała, lecz ciała i osi. Zależy od tego, ile jest masy, a przede wszystkim od tego, jak daleko leży od osi — w kwadracie. Dla regularnych kształtów zapisuje się I = k·m·r², a współczynnik k streszcza geometrię: 1 dla obręczy, ½ dla krążka, ⅖ dla kuli pełnej. Jeśli oś nie przechodzi przez środek masy, dodaje się m·d² — to twierdzenie Steinera.
Toczenie to zadanie, w którym wszystko się spotyka. Ciało toczące się bez poślizgu musi część energii zyskanej przy staczaniu włożyć w obrót, i im większe jego k, tym więcej: dlatego przyspiesza wolniej niż klocek zsuwający się bez tarcia, z a = g·sin θ / (1 + k). Tarcie statyczne jest niezbędne — bez niego ciało by się ślizgało — ale nie wykonuje pracy, bo punkt styku w każdej chwili spoczywa.
Częste błędy
- Używanie momentu bezwładności względem środka, gdy oś leży gdzie indziej: pręt obracający się wokół końca ma I = mL²/3, a nie mL²/12.
- Liczenie momentu siły z odległością do punktu przyłożenia zamiast z jej składową prostopadłą do siły: potrzebny jest sinus kąta albo prawdziwe ramię.
- Wstawianie obrotów na minutę do wzorów, które wymagają radianów na sekundę: jeden obrót to 2π radianów.
- Przekonanie, że łyżwiarz przyciągający ręce zachowuje energię: zachowany jest moment pędu, a energia kinetyczna rośnie, opłacona pracą mięśni.
Najczęstsze pytania
Czym jest moment bezwładności?
To opór ciała wobec zmiany jego ruchu obrotowego, tak jak masa jest oporem wobec zmiany prędkości. Sumuje się każdy kawałek masy razy kwadrat jego odległości od osi, więc ta sama masa liczy się znacznie bardziej, gdy leży daleko: obręcz trudniej rozkręcić niż krążek o tej samej masie i promieniu.
Kiedy stosuje się twierdzenie Steinera?
Gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy, ale jest równoległa do osi, która przez niego przechodzi. Moment bezwładności rośnie o m·d², gdzie d to odległość między osiami. Klasyczny przykład to pręt: mL²/12 względem środka, mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 względem końca.
Co pierwsze stoczy się na dół: kula czy walec?
Kula pełna, niezależnie od mas i promieni. Oba ciała przyspieszają jak g·sin θ / (1 + k), a kula ma k = ⅖, walec pełny k = ½: kula wkłada mniej energii w obrót i zostawia więcej na ruch w dół. Walec pusty, z k = 1, dociera ostatni.
Dlaczego łyżwiarz kręci się szybciej, gdy przyciąga ręce?
Bo na lodzie nie działa żaden istotny zewnętrzny moment siły i moment pędu L = I·ω pozostaje stały. Przybliżając masę do osi, zmniejsza się moment bezwładności, a prędkość kątowa rośnie w tej samej proporcji. Energia kinetyczna natomiast rośnie: pracę wykonują ręce ciągnięte do środka.
Jak przeliczyć obroty na minutę na radiany na sekundę?
Pomnożyć przez 2π i podzielić przez 60: jeden obrót to 2π radianów, a minuta to 60 sekund. Zatem 1 obr/min to około 0,1047 rad/s, a 3000 obr/min około 314 rad/s. Ta strona i tak pokazuje obroty na minutę w podsumowaniu momentu pędu.
Jak działa to obliczenie
Moment bezwładności regularnego kształtu: I = k·m·r², gdzie k = 1 dla obręczy, ½ dla krążka, ⅖ dla kuli pełnej, ⅔ dla sfery, 1/12 dla pręta względem środka i ⅓ względem końca (z r równym długości); promień bezwładności to √k·r. Twierdzenie Steinera: I = I₀ + m·d². Moment siły: M = r·F·sin θ; przy wyznaczaniu kąta otrzymuje się kąt ostry, bo θ i 180° − θ dają ten sam moment. II zasada dynamiki ruchu obrotowego: M = I·ε. Moment pędu: L = I·ω, z energią kinetyczną ruchu obrotowego ½·I·ω², obrotami na minutę 60ω/2π i okresem 2π/ω. Zachowanie: I₁·ω₁ = I₂·ω₂, a ponieważ E = L²/2I, energia zmienia się w stosunku I₁/I₂. Toczenie bez poślizgu po równi: a = g·sin θ / (1 + k), w porównaniu z g·sin θ dla ciała zsuwającego się bez tarcia; udział ruchu obrotowego w energii to k/(1 + k), a najmniejszy współczynnik tarcia statycznego zapobiegający poślizgowi to k·tg θ/(1 + k).
Powiązane kalkulatory
Ruch prostoliniowy i rzut ukośny
Ruch jednostajny, jednostajnie przyspieszony, spadek swobodny i rzut ukośny.
Dynamika i zasady Newtona
Druga zasada, ciężar, tarcie, równia pochyła, siła dośrodkowa i popęd — wzór odwraca się sam.
Zderzenia i pęd
Zderzenia czołowe sprężyste, niesprężyste i pośrednie: prędkości końcowe, utracona energia i popęd.
Grawitacja
Prawo powszechnego ciążenia, przyspieszenie grawitacyjne, prędkość orbitalna i ucieczki, III prawo Keplera i energia potencjalna grawitacji.