Física
Calculadora de dinámica de rotación
Momento de inercia, teorema de Steiner, momento de fuerza, segunda ley para la rotación, momento angular y rodadura. Elige la relación, deja vacío el campo que pide el ejercicio y la fórmula se despeja sola.
La rotación es la dinámica con otros nombres
Cada magnitud del movimiento rectilíneo tiene una gemela en la rotación. La posición se convierte en un ángulo, la velocidad en velocidad angular, la fuerza en momento de fuerza, la masa en momento de inercia, la cantidad de movimiento en momento angular. También las leyes pasan enteras: F = m·a se convierte en τ = I·α, y la conservación de la cantidad de movimiento en la del momento angular. Quien ha entendido la dinámica ya ha entendido medio sólido rígido.
La diferencia real es el momento de inercia, que a diferencia de la masa no es una propiedad solo del cuerpo sino del cuerpo y del eje. Depende de cuánta masa hay y sobre todo de lo lejos que está del eje, al cuadrado. Para las formas regulares se escribe I = k·m·r², y el factor k resume la geometría: 1 para un aro, ½ para un disco, ⅖ para una esfera maciza. Si el eje no pasa por el centro de masas se suma m·d²: es el teorema de Steiner.
La rodadura es el ejercicio donde todo se encuentra. Un cuerpo que rueda sin deslizar tiene que invertir en girar parte de la energía que gana al bajar, y cuanto mayor es su k más gasta: por eso acelera menos que un bloque que desliza sin rozamiento, con a = g·sen θ / (1 + k). El rozamiento estático es imprescindible —sin él el cuerpo deslizaría— pero no realiza trabajo, porque el punto de contacto está en reposo en cada instante.
Errores frecuentes
- Usar el momento de inercia respecto al centro cuando el eje está en otro sitio: una varilla que gira en torno a un extremo tiene I = mL²/3, no mL²/12.
- Calcular el momento de fuerza con la distancia al punto de aplicación en lugar de su componente perpendicular a la fuerza: hace falta el seno del ángulo, o el brazo verdadero.
- Meter revoluciones por minuto en fórmulas que piden radianes por segundo: una vuelta son 2π radianes.
- Creer que el patinador que recoge los brazos conserva la energía: se conserva el momento angular, y la energía cinética aumenta, pagada con el trabajo de los músculos.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el momento de inercia?
Es la resistencia de un cuerpo a cambiar su rotación, igual que la masa es la resistencia a cambiar la velocidad. Se obtiene sumando cada trocito de masa por el cuadrado de su distancia al eje, así que la misma masa cuenta mucho más si está lejos: un aro cuesta más de hacer girar que un disco de igual masa y radio.
¿Cuándo se usa el teorema de Steiner?
Cuando el eje de giro no pasa por el centro de masas pero es paralelo a uno que sí pasa. El momento de inercia aumenta en m·d², donde d es la distancia entre los dos ejes. El ejemplo clásico es la varilla: mL²/12 respecto al centro, mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 respecto a un extremo.
¿Quién llega antes abajo, una esfera o un cilindro?
La esfera maciza, sean cuales sean sus masas y radios. Ambos aceleran como g·sen θ / (1 + k), y la esfera tiene k = ⅖ mientras que el cilindro macizo tiene k = ½: la esfera invierte menos energía en girar y deja más para bajar. Un cilindro hueco, con k = 1, llega el último.
¿Por qué el patinador gira más rápido al recoger los brazos?
Porque sobre el hielo no actúan momentos externos apreciables y el momento angular L = I·ω se mantiene constante. Al acercar la masa al eje el momento de inercia disminuye y la velocidad angular aumenta en la misma proporción. La energía cinética, en cambio, aumenta: el trabajo lo hacen los brazos al tirar hacia dentro.
¿Cómo se pasa de rpm a radianes por segundo?
Se multiplica por 2π y se divide entre 60: una vuelta son 2π radianes y un minuto 60 segundos. Así, 1 rpm son unos 0,1047 rad/s y 3000 rpm unos 314 rad/s. Esta página muestra de todos modos las rpm en el resumen del momento angular.
Cómo funciona este cálculo
Momento de inercia de una forma regular: I = k·m·r², con k = 1 para el aro, ½ para el disco, ⅖ para la esfera maciza, ⅔ para la esfera hueca, 1/12 para la varilla respecto al centro y ⅓ respecto a un extremo (con r igual a la longitud); el radio de giro es √k·r. Teorema de Steiner: I = I_cm + m·d². Momento de fuerza: τ = r·F·sen θ; al despejar el ángulo se obtiene el agudo, porque θ y 180° − θ dan el mismo momento. Segunda ley para la rotación: τ = I·α. Momento angular: L = I·ω, con energía cinética de rotación ½·I·ω², revoluciones por minuto 60ω/2π y periodo 2π/ω. Conservación: I₁·ω₁ = I₂·ω₂, y como K = L²/2I la energía cambia en la razón I₁/I₂. Rodadura sin deslizamiento por un plano inclinado: a = g·sen θ / (1 + k), frente a g·sen θ para un cuerpo que desliza sin rozamiento; la parte rotacional de la energía es k/(1 + k) y el coeficiente de rozamiento estático mínimo para no deslizar es k·tg θ/(1 + k).
Cálculos relacionados
Movimiento rectilíneo y parabólico
Movimiento uniforme, uniformemente acelerado, caída libre y lanzamiento oblicuo.
Dinámica y leyes de Newton
Segunda ley, peso, rozamiento, plano inclinado, fuerza centrípeta e impulso, con la fórmula que se invierte sola.
Choques y cantidad de movimiento
Choques frontales elásticos, inelásticos e intermedios: velocidades finales, energía perdida e impulso.
Gravitación universal
Ley de Newton, gravedad en la superficie, velocidad orbital y de escape, tercera ley de Kepler y energía potencial gravitatoria.