Moto rettilineo uniforme e accelerato: calcolatrice

Le due equazioni da cui discende tutto

Tutta la cinematica del primo anno sta in due equazioni: v = v₀ + a·t, che dice come cambia la velocità, e s = v₀·t + ½a·t², che dice quanto spazio viene percorso. Il moto uniforme è il caso in cui l'accelerazione è zero e la seconda si riduce a s = v·t; la caduta libera è il caso in cui la velocità iniziale è zero e l'accelerazione vale g. Non sono formule diverse da imparare a memoria, ma la stessa coppia con un termine che si annulla.

La terza relazione, v² = v₀² + 2a·s, si ottiene eliminando il tempo fra le altre due. Serve esattamente quando il problema non nomina il tempo: «un'auto a 30 m/s frena con decelerazione di 5 m/s², in quanti metri si arresta». Cercare di risolverlo passando dal tempo funziona, ma richiede due passaggi invece di uno.

Nel moto parabolico le due direzioni si trattano separatamente e questo è il punto dell'intero argomento: sull'orizzontale il moto è uniforme, perché nessuna forza agisce in quel verso, mentre sulla verticale è uniformemente accelerato verso il basso. Il tempo è l'unica grandezza condivisa, ed è quello che lega la gittata all'altezza massima.

Errori frequenti

Usare km/h al posto di m/s: 90 km/h sono 25 m/s, e mescolare le due unità fa sbagliare il risultato di un fattore 3,6. Si divide per 3,6 per passare da km/h a m/s.
Sbagliare il segno dell'accelerazione in una frenata: se la velocità diminuisce l'accelerazione è opposta al moto, quindi negativa. Con il segno positivo l'auto accelera e lo spazio di arresto non esiste.
Confondere spazio percorso e spostamento: un corpo lanciato in alto che ricade al punto di partenza ha spostamento zero pur avendo percorso due volte l'altezza massima. La calcolatrice riporta lo spostamento, che è la grandezza delle equazioni.

Domande frequenti

Qual è la formula del moto rettilineo uniformemente accelerato?

Sono due: v = v₀ + a·t per la velocità e s = v₀·t + ½a·t² per lo spazio. Se il tempo non è noto si usa v² = v₀² + 2a·s, che si ricava eliminando t fra le prime due.

Quanto tempo impiega un corpo a cadere da una certa altezza?

t = √(2h/g). Da 45 metri, con g = 9,81 m/s², servono circa 3,03 secondi e il corpo arriva a terra a quasi 30 m/s. La massa non compare: in assenza di aria, tutti i corpi cadono nello stesso tempo.

Perché la gittata è massima a 45 gradi?

Perché la gittata vale v₀²·sin(2α)/g, e il seno raggiunge il massimo quando il suo argomento è 90°, cioè quando l'angolo di lancio è 45°. Ne segue anche che angoli complementari, come 30° e 60°, danno la stessa gittata con tempi di volo diversi.

Questi calcoli tengono conto dell'attrito dell'aria?

No. Sono le formule della cinematica ideale, quelle dei problemi scolastici. Per un sasso o una palla su distanze brevi l'approssimazione è buona; per un paracadutista o una piuma non lo è affatto.

Come funziona questo calcolo

Moto uniforme: s = v·t. Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t e s = v₀·t + ½a·t². Relazione senza tempo (Torricelli): v² = v₀² + 2a·Δs, da cui Δs = (v² − v₀²)/(2a). Caduta libera da fermo: t = √(2h/g), v = g·t, con g = 9,81 m/s². Moto parabolico con velocità v₀ e angolo α: componenti v₀ₓ = v₀·cos α e v₀ᵧ = v₀·sin α; tempo di volo T = 2v₀ᵧ/g; gittata G = v₀ₓ·T = v₀²·sin(2α)/g; altezza massima H = v₀ᵧ²/(2g). Tutte le formule assumono accelerazione costante e assenza di resistenza dell'aria.

Dinamica e leggi di Newton

Seconda legge, peso, attrito, piano inclinato, forza centripeta e impulso, con la formula che si inverte da sola.

Urti e quantità di moto

Urti frontali elastici, anelastici e intermedi: velocità finali, energia persa e impulso scambiato.

Dinamica del corpo rigido

Momento d'inerzia, Steiner, momento torcente, momento angolare e rotolamento, con la formula che si inverte da sola.

Gravitazione universale

Legge di Newton, g sulla superficie, velocità orbitale e di fuga, terza legge di Keplero ed energia potenziale gravitazionale.