Fisica
Calcolatrice di gravitazione universale
Legge di gravitazione di Newton, gravità alla superficie di un pianeta, orbite circolari, velocità di fuga, terza legge di Keplero ed energia potenziale. Scegli la relazione, lascia vuoto il campo che l'esercizio chiede e la formula si inverte da sola.
Una sola legge, dalla mela alle orbite
La legge di gravitazione universale dice che due masse qualsiasi si attraggono con una forza proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra i centri, F = G·m₁·m₂/r². La costante G è piccolissima, 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², ed è il motivo per cui l'attrazione fra due persone non si sente: serve la massa di un pianeta perché diventi il peso.
Da questa legge si ricava quasi tutto il resto. Alla superficie di un pianeta la forza su una massa m è m·g, quindi g = G·M/R², e il 9,81 m/s² dei problemi è semplicemente questo conto per la Terra. In un'orbita circolare la gravità fa da forza centripeta: uguagliando G·M·m/r² a m·v²/r si trova v = √(G·M/r), senza la massa del satellite. Il periodo 2πr/v, elevato al quadrato, dà la terza legge di Keplero: T² = 4π²·a³/(G·M), che Keplero aveva trovato nei dati di Tycho Brahe e Newton ha spiegato.
La velocità di fuga viene invece dall'energia. Un corpo lanciato dalla superficie sfugge se la sua energia cinetica basta a pagare tutta l'energia potenziale −G·M·m/R, cioè se ½·m·v² ≥ G·M·m/R: da qui v = √(2·G·M/R), √2 volte la velocità di un'orbita radente. Per la Terra sono 11,2 km/s, contro i 7,9 dell'orbita più bassa possibile.
Errori frequenti
- Usare la quota al posto del raggio dell'orbita: la distanza nella formula è dal centro del pianeta, quindi per la stazione spaziale è 6371 + 420 km, non 420.
- Dimenticare il quadrato nella distanza: raddoppiare la distanza divide la forza per quattro, non per due.
- Mescolare chilometri e metri in G: la costante è in unità SI, quindi le distanze vanno in metri se si fa il conto a mano. Questa pagina converte da sola.
- Pensare che in orbita non ci sia gravità: alla quota della stazione spaziale vale ancora circa il 90 % di quella a terra. Gli astronauti fluttuano perché cadono insieme alla stazione.
Domande frequenti
Perché gli astronauti in orbita non hanno peso?
La gravità c'è eccome: alla quota della stazione spaziale è circa 8,6 m/s². Ma la stazione e tutto ciò che contiene cadono insieme verso la Terra, mancandola di continuo grazie alla velocità orizzontale. Cadendo con la stessa accelerazione, nulla preme sul pavimento: è l'assenza di peso apparente, non di gravità.
La velocità di fuga dipende dalla massa del razzo?
No. Sia l'energia cinetica sia l'energia potenziale sono proporzionali alla massa di chi parte, che quindi si semplifica. Un sasso e una nave spaziale hanno bisogno della stessa velocità, 11,2 km/s dalla superficie terrestre. La massa conta per quanta energia serve in totale, non per la velocità.
A che altezza è un satellite geostazionario?
Deve compiere un giro in un giorno siderale, 23 h 56 min. La terza legge di Keplero con la massa della Terra dà un raggio di circa 42.164 km dal centro, cioè circa 35.786 km di quota. Imposta un periodo di 0,99727 giorni nella relazione di Keplero per vederlo.
Perché l'energia potenziale gravitazionale è negativa?
Perché lo zero si fissa all'infinito, dove due corpi non si attraggono più. Avvicinandosi la gravità compie lavoro e l'energia potenziale scende sotto lo zero. Il segno negativo dice che la coppia è legata: per separarla bisogna fornire energia. La formula m·g·h dei problemi di meccanica è l'approssimazione di questa vicino alla superficie.
Quanto vale G e come è stata misurata?
6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². La misurò per primo Henry Cavendish nel 1798 con una bilancia di torsione, osservando l'attrazione fra sfere di piombo. È la costante fondamentale conosciuta con meno precisione, proprio perché la gravità fra masse di laboratorio è debolissima.
Come funziona questo calcolo
Legge di gravitazione: F = G·m₁·m₂/r², con G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Gravità alla superficie: g = G·M/R². Orbita circolare: dalla gravità come forza centripeta, v = √(G·M/r), periodo 2πr/v e gravità alla quota G·M/r². Velocità di fuga: dall'energia, ½·v² = G·M/R, quindi v = √(2·G·M/R), che è √2 volte la velocità orbitale radente. Terza legge di Keplero: T² = 4π²·a³/(G·M), con velocità media 2πa/T; per ricavare a si usa la radice cubica. Energia potenziale: U = −G·m₁·m₂/r, con lo zero all'infinito; l'energia di legame è −U. Il calcolo avviene in unità SI: le distanze in km sono moltiplicate per 1000, i periodi in giorni per 86.400.
Calcoli collegati
Moto rettilineo e parabolico
Moto uniforme, uniformemente accelerato, caduta libera e lancio obliquo.
Dinamica e leggi di Newton
Seconda legge, peso, attrito, piano inclinato, forza centripeta e impulso, con la formula che si inverte da sola.
Urti e quantità di moto
Urti frontali elastici, anelastici e intermedi: velocità finali, energia persa e impulso scambiato.
Dinamica del corpo rigido
Momento d'inerzia, Steiner, momento torcente, momento angolare e rotolamento, con la formula che si inverte da sola.