Física
Calculadora de dinâmica de rotação
Momento de inércia, teorema de Steiner, torque, segunda lei para a rotação, momento angular e rolamento. Escolha a relação, deixe vazio o campo que o exercício pede e a fórmula se inverte sozinha.
A rotação é a dinâmica com outros nomes
Cada grandeza do movimento retilíneo tem uma gêmea na rotação. A posição vira um ângulo, a velocidade uma velocidade angular, a força um torque, a massa um momento de inércia, a quantidade de movimento um momento angular. As leis também passam inteiras: F = m·a vira τ = I·α, e a conservação da quantidade de movimento vira a do momento angular. Quem entendeu a dinâmica já entendeu metade do corpo rígido.
A diferença real é o momento de inércia, que ao contrário da massa não é uma propriedade só do corpo, mas do corpo e do eixo. Depende de quanta massa há e sobretudo de quão longe ela está do eixo, ao quadrado. Para formas regulares escreve-se I = k·m·r², e o fator k resume a geometria: 1 para um anel, ½ para um disco, ⅖ para uma esfera maciça. Se o eixo não passa pelo centro de massa, soma-se m·d²: é o teorema de Steiner, ou dos eixos paralelos.
O rolamento é o exercício em que tudo se encontra. Um corpo que rola sem deslizar precisa pôr em rotação parte da energia que ganha ao descer, e quanto maior o seu k, mais gasta: é por isso que acelera menos que um bloco deslizando sem atrito, com a = g·sen θ / (1 + k). O atrito estático é indispensável — sem ele o corpo deslizaria —, mas não realiza trabalho, porque o ponto de contato está parado a cada instante.
Erros frequentes
- Usar o momento de inércia em relação ao centro quando o eixo está em outro lugar: uma barra que gira em torno de uma extremidade tem I = mL²/3, não mL²/12.
- Calcular o torque com a distância ao ponto de aplicação em vez da sua componente perpendicular à força: é preciso o seno do ângulo, ou o braço verdadeiro.
- Pôr rotações por minuto em fórmulas que pedem radianos por segundo: uma volta são 2π radianos.
- Pensar que a patinadora que fecha os braços conserva energia: conserva-se o momento angular, e a energia cinética aumenta, paga pelo trabalho dos músculos.
Perguntas frequentes
O que é o momento de inércia?
É a resistência de um corpo a mudar a sua rotação, assim como a massa é a resistência a mudar a velocidade. Soma cada pedacinho de massa vezes o quadrado da sua distância ao eixo, então a mesma massa pesa muito mais quando está longe: um anel é mais difícil de girar do que um disco de mesma massa e raio.
Quando se usa o teorema de Steiner?
Quando o eixo de rotação não passa pelo centro de massa, mas é paralelo a um que passa. O momento de inércia cresce m·d², em que d é a distância entre os dois eixos. O exemplo clássico é a barra: mL²/12 em torno do centro, mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 em torno de uma extremidade.
Quem chega primeiro ao pé do plano, uma esfera ou um cilindro?
A esfera maciça, sejam quais forem massas e raios. Os dois aceleram como g·sen θ / (1 + k), e a esfera tem k = ⅖ enquanto o cilindro maciço tem k = ½: a esfera gasta menos energia girando e guarda mais para descer. Um cilindro oco, com k = 1, chega por último.
Por que a patinadora gira mais rápido com os braços fechados?
Porque no gelo não agem torques externos relevantes, e o momento angular L = I·ω fica constante. Aproximando a massa do eixo, o momento de inércia diminui e a velocidade angular aumenta na mesma proporção. A energia cinética, por sua vez, aumenta: o trabalho é feito pelos braços que puxam para dentro.
Como passar de rpm para radianos por segundo?
Multiplique por 2π e divida por 60: uma volta são 2π radianos e um minuto são 60 segundos. Assim, 1 rpm é cerca de 0,1047 rad/s e 3000 rpm cerca de 314 rad/s. Esta página mostra de qualquer forma as rpm no resumo do momento angular.
Como funciona este cálculo
Momento de inércia de uma forma regular: I = k·m·r², com k = 1 para o anel, ½ para o disco, ⅖ para a esfera maciça, ⅔ para a esfera oca, 1/12 para a barra em torno do centro e ⅓ em torno de uma extremidade (com r igual ao comprimento); o raio de giração é √k·r. Teorema de Steiner: I = I_cm + m·d². Torque: τ = r·F·sen θ; ao obter o ângulo sai o agudo, porque θ e 180° − θ dão o mesmo torque. Segunda lei para a rotação: τ = I·α. Momento angular: L = I·ω, com energia cinética de rotação ½·I·ω², rotações por minuto 60ω/2π e período 2π/ω. Conservação: I₁·ω₁ = I₂·ω₂, e como K = L²/2I a energia muda na razão I₁/I₂. Rolamento sem deslizamento em um plano inclinado: a = g·sen θ / (1 + k), comparada com g·sen θ de um corpo que desliza sem atrito; a parte rotacional da energia é k/(1 + k) e o coeficiente de atrito estático mínimo para não deslizar é k·tan θ/(1 + k).
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