Physik
Rechner für Rotationsdynamik
Trägheitsmoment, Satz von Steiner, Drehmoment, Grundgesetz der Rotation, Drehimpuls und Rollbewegung. Wähle die Beziehung, lass das gesuchte Feld leer, und die Formel stellt sich selbst um.
Drehbewegung ist Dynamik unter anderem Namen
Jede Größe der geradlinigen Bewegung hat einen Zwilling in der Drehbewegung. Aus dem Ort wird ein Winkel, aus der Geschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit, aus der Kraft das Drehmoment, aus der Masse das Trägheitsmoment, aus dem Impuls der Drehimpuls. Auch die Gesetze übertragen sich vollständig: Aus F = m·a wird M = I·α, aus der Impulserhaltung die Drehimpulserhaltung. Wer die Dynamik verstanden hat, hat den starren Körper schon zur Hälfte verstanden.
Der eigentliche Unterschied ist das Trägheitsmoment, das anders als die Masse keine Eigenschaft des Körpers allein ist, sondern des Körpers und der Achse. Es hängt davon ab, wie viel Masse vorhanden ist, und vor allem davon, wie weit sie von der Achse entfernt ist, im Quadrat. Für regelmäßige Formen schreibt man I = k·m·r², und der Faktor k fasst die Geometrie zusammen: 1 für einen Ring, ½ für eine Scheibe, ⅖ für eine Vollkugel. Geht die Achse nicht durch den Schwerpunkt, kommt m·d² hinzu – das ist der Satz von Steiner.
Beim Rollen kommt alles zusammen. Ein Körper, der ohne zu rutschen rollt, muss einen Teil der Energie, die er beim Hinabrollen gewinnt, in die Drehung stecken, und je größer sein k, desto mehr: Deshalb beschleunigt er weniger als ein reibungsfrei gleitender Klotz, mit a = g·sin θ / (1 + k). Die Haftreibung ist unverzichtbar – ohne sie würde der Körper rutschen –, verrichtet aber keine Arbeit, weil der Auflagepunkt in jedem Augenblick ruht.
Häufige Fehler
- Das Trägheitsmoment um den Schwerpunkt verwenden, wenn die Achse woanders liegt: Ein Stab, der sich um ein Ende dreht, hat I = mL²/3, nicht mL²/12.
- Das Drehmoment mit dem Abstand zum Angriffspunkt statt mit dem Anteil senkrecht zur Kraft berechnen: Man braucht den Sinus des Winkels oder den wirklichen Hebelarm.
- Umdrehungen pro Minute in Formeln einsetzen, die Radiant pro Sekunde verlangen: Eine Umdrehung sind 2π Radiant.
- Glauben, bei der Pirouette mit angezogenen Armen bleibe die Energie erhalten: Erhalten bleibt der Drehimpuls, die kinetische Energie steigt, bezahlt mit der Arbeit der Muskeln.
Häufige Fragen
Was ist das Trägheitsmoment?
Es ist der Widerstand eines Körpers gegen eine Änderung seiner Drehung, so wie die Masse der Widerstand gegen eine Änderung der Geschwindigkeit ist. Man summiert jedes Massenstück mal dem Quadrat seines Abstands von der Achse, daher zählt dieselbe Masse weit außen viel mehr: Ein Ring lässt sich schwerer in Drehung versetzen als eine Scheibe gleicher Masse und gleichen Radius.
Wann wendet man den Satz von Steiner an?
Wenn die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt geht, aber parallel zu einer Achse liegt, die es tut. Das Trägheitsmoment wächst um m·d², wobei d der Abstand der beiden Achsen ist. Das klassische Beispiel ist der Stab: mL²/12 um die Mitte, mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 um ein Ende.
Was ist zuerst unten, eine Kugel oder ein Zylinder?
Die Vollkugel, unabhängig von Massen und Radien. Beide beschleunigen mit g·sin θ / (1 + k), und die Kugel hat k = ⅖, der Vollzylinder k = ½: Die Kugel steckt weniger Energie in die Drehung und behält mehr für die Abwärtsbewegung. Ein Hohlzylinder mit k = 1 kommt als Letzter an.
Warum dreht man sich bei der Pirouette schneller, wenn man die Arme anzieht?
Weil auf dem Eis kein nennenswertes äußeres Drehmoment wirkt und der Drehimpuls L = I·ω konstant bleibt. Rückt die Masse näher an die Achse, sinkt das Trägheitsmoment, und die Winkelgeschwindigkeit steigt im gleichen Verhältnis. Die kinetische Energie steigt dagegen: Die Arbeit verrichten die Arme, die nach innen ziehen.
Wie rechnet man Umdrehungen pro Minute in Radiant pro Sekunde um?
Mit 2π multiplizieren und durch 60 teilen: Eine Umdrehung sind 2π Radiant, eine Minute 60 Sekunden. 1 U/min sind also etwa 0,1047 rad/s und 3000 U/min etwa 314 rad/s. Diese Seite zeigt die Umdrehungen pro Minute ohnehin in der Zusammenfassung des Drehimpulses.
So funktioniert diese Berechnung
Trägheitsmoment einer regelmäßigen Form: I = k·m·r², mit k = 1 für den Ring, ½ für die Scheibe, ⅖ für die Vollkugel, ⅔ für die Hohlkugel, 1/12 für den Stab um die Mitte und ⅓ um ein Ende (mit r gleich der Länge); der Trägheitsradius ist √k·r. Satz von Steiner: I = I_S + m·d². Drehmoment: M = r·F·sin θ; beim Auflösen nach dem Winkel erhält man den spitzen, weil θ und 180° − θ dasselbe Drehmoment ergeben. Grundgesetz der Rotation: M = I·α. Drehimpuls: L = I·ω, mit Rotationsenergie ½·I·ω², Umdrehungen pro Minute 60ω/2π und Umlaufdauer 2π/ω. Erhaltung: I₁·ω₁ = I₂·ω₂, und weil E = L²/2I gilt, ändert sich die Energie im Verhältnis I₁/I₂. Rollen ohne Rutschen auf der schiefen Ebene: a = g·sin θ / (1 + k), verglichen mit g·sin θ für einen reibungsfrei gleitenden Körper; der Rotationsanteil der Energie ist k/(1 + k), und die kleinste Haftreibungszahl, die das Rutschen verhindert, ist k·tan θ/(1 + k).
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