Physique
Calculateur de dynamique de rotation
Moment d'inertie, théorème de Huygens, moment d'une force, principe fondamental en rotation, moment cinétique et roulement. Choisissez la relation, laissez vide le champ demandé par l'exercice, et la formule s'inverse toute seule.
La rotation, c'est la dynamique sous d'autres noms
Chaque grandeur du mouvement rectiligne a une jumelle en rotation. La position devient un angle, la vitesse une vitesse angulaire, la force un moment, la masse un moment d'inertie, la quantité de mouvement un moment cinétique. Les lois passent elles aussi tout entières : F = m·a devient τ = I·α, et la conservation de la quantité de mouvement devient celle du moment cinétique. Qui a compris la dynamique a déjà compris la moitié du solide.
La vraie différence, c'est le moment d'inertie, qui contrairement à la masse n'appartient pas au corps seul mais au corps et à l'axe. Il dépend de la quantité de masse et surtout de sa distance à l'axe, au carré. Pour les formes régulières on écrit I = k·m·r², et le facteur k résume la géométrie : 1 pour un anneau, ½ pour un disque, ⅖ pour une sphère pleine. Si l'axe ne passe pas par le centre de masse, on ajoute m·d² : c'est le théorème de Huygens.
Le roulement est l'exercice où tout se rejoint. Un corps qui roule sans glisser doit mettre en rotation une partie de l'énergie qu'il gagne en descendant, et plus son k est grand, plus il en dépense : c'est pourquoi il accélère moins qu'un bloc glissant sans frottement, avec a = g·sin θ / (1 + k). Le frottement statique est indispensable — sans lui le corps glisserait — mais il ne travaille pas, car le point de contact est immobile à chaque instant.
Erreurs fréquentes
- Utiliser le moment d'inertie par rapport au centre quand l'axe est ailleurs : une tige qui tourne autour d'une extrémité a I = mL²/3, pas mL²/12.
- Calculer le moment avec la distance au point d'application au lieu de sa composante perpendiculaire à la force : il faut le sinus de l'angle, ou le vrai bras de levier.
- Mettre des tours par minute dans des formules qui attendent des radians par seconde : un tour vaut 2π radians.
- Croire que le patineur qui ramène les bras conserve l'énergie : c'est le moment cinétique qui se conserve, et l'énergie cinétique augmente, payée par le travail des muscles.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le moment d'inertie ?
C'est la résistance d'un corps à changer sa rotation, comme la masse est la résistance à changer sa vitesse. On l'obtient en sommant chaque morceau de masse multiplié par le carré de sa distance à l'axe : la même masse compte donc bien plus quand elle est loin. Un anneau est plus difficile à faire tourner qu'un disque de même masse et de même rayon.
Quand utilise-t-on le théorème de Huygens ?
Quand l'axe de rotation ne passe pas par le centre de masse mais est parallèle à un axe qui y passe. Le moment d'inertie augmente de m·d², où d est la distance entre les deux axes. L'exemple classique est la tige : mL²/12 autour du centre, mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 autour d'une extrémité.
Qui arrive en bas le premier, une sphère ou un cylindre ?
La sphère pleine, quelles que soient les masses et les rayons. Les deux accélèrent comme g·sin θ / (1 + k), et la sphère a k = ⅖ tandis que le cylindre plein a k = ½ : la sphère consacre moins d'énergie à tourner et en garde plus pour descendre. Un cylindre creux, avec k = 1, arrive dernier.
Pourquoi le patineur tourne-t-il plus vite en ramenant les bras ?
Parce que sur la glace aucun moment extérieur notable n'agit, et le moment cinétique L = I·ω reste constant. En rapprochant la masse de l'axe, le moment d'inertie diminue et la vitesse angulaire augmente dans la même proportion. L'énergie cinétique, elle, augmente : le travail est fourni par les bras qui tirent vers l'intérieur.
Comment convertir des tours par minute en radians par seconde ?
On multiplie par 2π et on divise par 60 : un tour vaut 2π radians et une minute 60 secondes. Ainsi 1 tr/min vaut environ 0,1047 rad/s et 3000 tr/min environ 314 rad/s. Cette page affiche de toute façon les tours par minute dans le récapitulatif du moment cinétique.
Comment fonctionne ce calcul
Moment d'inertie d'une forme régulière : I = k·m·r², avec k = 1 pour l'anneau, ½ pour le disque, ⅖ pour la sphère pleine, ⅔ pour la sphère creuse, 1/12 pour la tige autour de son centre et ⅓ autour d'une extrémité (avec r égal à la longueur) ; le rayon de giration vaut √k·r. Théorème de Huygens : I = I_G + m·d². Moment d'une force : τ = r·F·sin θ ; en résolvant pour l'angle on obtient l'angle aigu, car θ et 180° − θ donnent le même moment. Principe fondamental en rotation : τ = I·α. Moment cinétique : L = I·ω, avec énergie cinétique de rotation ½·I·ω², tours par minute 60ω/2π et période 2π/ω. Conservation : I₁·ω₁ = I₂·ω₂, et comme K = L²/2I l'énergie change dans le rapport I₁/I₂. Roulement sans glissement sur un plan incliné : a = g·sin θ / (1 + k), à comparer avec g·sin θ pour un corps glissant sans frottement ; la part rotationnelle de l'énergie est k/(1 + k) et le plus petit coefficient de frottement statique qui empêche le glissement est k·tan θ/(1 + k).
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