Ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony: kalkulator

Dwa równania, z których wynika wszystko

Cała kinematyka pierwszego roku mieści się w dwóch równaniach: v = v₀ + a·t, które mówi, jak zmienia się prędkość, oraz s = v₀·t + ½a·t², które mówi, jaka droga zostaje przebyta. Ruch jednostajny to przypadek, w którym przyspieszenie jest zerowe i drugie równanie redukuje się do s = v·t; spadek swobodny to przypadek, w którym prędkość początkowa jest zerowa, a przyspieszenie wynosi g. To nie są osobne wzory do zapamiętania, lecz ta sama para z jednym znikającym wyrazem.

Trzecia zależność, v² = v₀² + 2a·s, powstaje przez wyrugowanie czasu z dwóch pozostałych. Przydaje się dokładnie wtedy, gdy zadanie nie wspomina o czasie: „samochód jadący 30 m/s hamuje z opóźnieniem 5 m/s², na jakiej drodze się zatrzyma?". Droga przez czas też działa, ale wymaga dwóch kroków zamiast jednego.

W rzucie ukośnym oba kierunki traktuje się osobno i to jest sedno całego tematu: w poziomie ruch jest jednostajny, bo w tym kierunku nie działa żadna siła, a w pionie jednostajnie przyspieszony w dół. Czas jest jedyną wspólną wielkością i to on wiąże zasięg z wysokością maksymalną.

Częste błędy

Używanie km/h zamiast m/s: 90 km/h to 25 m/s, a mieszanie jednostek psuje wynik o czynnik 3,6. Aby przejść z km/h na m/s, dzieli się przez 3,6.
Błędny znak przyspieszenia przy hamowaniu: jeśli prędkość maleje, przyspieszenie jest przeciwne do ruchu, czyli ujemne. Ze znakiem dodatnim samochód przyspiesza i droga hamowania nie istnieje.
Mylenie drogi przebytej z przemieszczeniem: ciało rzucone w górę i złapane w punkcie startu ma przemieszczenie zerowe, choć przebyło dwukrotność wysokości maksymalnej. Kalkulator podaje przemieszczenie, bo to ono występuje w równaniach.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na ruch jednostajnie przyspieszony?

Są dwa: v = v₀ + a·t na prędkość i s = v₀·t + ½a·t² na drogę. Jeśli czas nie jest znany, stosuje się v² = v₀² + 2a·s, otrzymane przez wyrugowanie t z dwóch pierwszych.

Ile czasu spada ciało z danej wysokości?

t = √(2h/g). Z 45 metrów, przy g = 9,81 m/s², trwa to około 3,03 sekundy, a ciało uderza z prędkością prawie 30 m/s. Masa nie występuje: bez powietrza wszystkie ciała spadają w tym samym czasie.

Dlaczego zasięg jest największy przy 45 stopniach?

Bo zasięg wynosi v₀²·sin(2α)/g, a sinus osiąga maksimum, gdy jego argument wynosi 90°, czyli gdy kąt rzutu to 45°. Wynika stąd również, że kąty dopełniające się, jak 30° i 60°, dają ten sam zasięg przy różnych czasach lotu.

Czy te obliczenia uwzględniają opór powietrza?

Nie. To wzory kinematyki idealnej, te ze szkolnych zadań. Dla kamienia albo piłki na krótkich dystansach przybliżenie jest dobre; dla spadochroniarza albo piórka zupełnie nie.

Jak działa to obliczenie

Ruch jednostajny: s = v·t. Ruch jednostajnie przyspieszony: v = v₀ + a·t oraz s = v₀·t + ½a·t². Zależność bez czasu (Torricellego): v² = v₀² + 2a·Δs, skąd Δs = (v² − v₀²)/(2a). Spadek swobodny z zerową prędkością początkową: t = √(2h/g), v = g·t, przy g = 9,81 m/s². Rzut ukośny o prędkości v₀ i kącie α: składowe v₀ₓ = v₀·cos α oraz v₀ᵧ = v₀·sin α; czas lotu T = 2v₀ᵧ/g; zasięg Z = v₀ₓ·T = v₀²·sin(2α)/g; wysokość maksymalna H = v₀ᵧ²/(2g). Wszystkie wzory zakładają stałe przyspieszenie i brak oporu powietrza.

Dynamika i zasady Newtona

Druga zasada, ciężar, tarcie, równia pochyła, siła dośrodkowa i popęd — wzór odwraca się sam.

Zderzenia i pęd

Zderzenia czołowe sprężyste, niesprężyste i pośrednie: prędkości końcowe, utracona energia i popęd.

Dynamika bryły sztywnej

Moment bezwładności, twierdzenie Steinera, moment siły, moment pędu i toczenie, ze wzorem, który sam się przekształca.

Grawitacja

Prawo powszechnego ciążenia, przyspieszenie grawitacyjne, prędkość orbitalna i ucieczki, III prawo Keplera i energia potencjalna grawitacji.