Mouvement rectiligne uniforme et accéléré : calculatrice

Les deux équations dont tout découle

Toute la cinématique de première année tient en deux équations : v = v₀ + a·t, qui dit comment la vitesse change, et s = v₀·t + ½a·t², qui dit quelle distance est parcourue. Le mouvement uniforme est le cas où l'accélération est nulle et la seconde se réduit à s = v·t ; la chute libre est le cas où la vitesse initiale est nulle et l'accélération vaut g. Ce ne sont pas des formules différentes à apprendre par cœur, mais le même couple avec un terme qui s'annule.

La troisième relation, v² = v₀² + 2a·s, s'obtient en éliminant le temps entre les deux autres. Elle sert exactement lorsque le problème ne mentionne pas le temps : « une voiture à 30 m/s freine avec une décélération de 5 m/s², en combien de mètres s'arrête-t-elle ? ». Passer par le temps fonctionne, mais demande deux étapes au lieu d'une.

Dans le tir balistique, les deux directions se traitent séparément, et c'est là tout l'enjeu du chapitre : à l'horizontale le mouvement est uniforme, car aucune force n'agit dans ce sens, tandis qu'à la verticale il est uniformément accéléré vers le bas. Le temps est la seule grandeur commune, et c'est lui qui relie la portée à la hauteur maximale.

Erreurs fréquentes

Utiliser des km/h au lieu des m/s : 90 km/h font 25 m/s, et mélanger les deux unités fausse le résultat d'un facteur 3,6. On divise par 3,6 pour passer des km/h aux m/s.
Se tromper de signe pour l'accélération lors d'un freinage : si la vitesse diminue, l'accélération s'oppose au mouvement et est donc négative. Avec un signe positif, la voiture accélère et la distance d'arrêt n'existe pas.
Confondre distance parcourue et déplacement : un corps lancé vers le haut qui retombe à son point de départ a un déplacement nul bien qu'il ait parcouru deux fois la hauteur maximale. La calculatrice donne le déplacement, qui est la grandeur des équations.

Questions fréquentes

Quelle est la formule du mouvement rectiligne uniformément accéléré ?

Il y en a deux : v = v₀ + a·t pour la vitesse et s = v₀·t + ½a·t² pour la distance. Si le temps est inconnu, on utilise v² = v₀² + 2a·s, obtenue en éliminant t entre les deux premières.

Combien de temps met un corps à tomber d'une hauteur donnée ?

t = √(2h/g). De 45 mètres, avec g = 9,81 m/s², il faut environ 3,03 secondes et le corps arrive au sol à presque 30 m/s. La masse n'apparaît pas : sans air, tous les corps tombent dans le même temps.

Pourquoi la portée est-elle maximale à 45 degrés ?

Parce que la portée vaut v₀²·sin(2α)/g, et le sinus atteint son maximum quand son argument vaut 90°, c'est-à-dire quand l'angle de tir vaut 45°. Il s'ensuit aussi que des angles complémentaires, comme 30° et 60°, donnent la même portée avec des temps de vol différents.

Ces calculs tiennent-ils compte du frottement de l'air ?

Non. Ce sont les formules de la cinématique idéale, celles des problèmes scolaires. Pour une pierre ou un ballon sur de courtes distances, l'approximation est bonne ; pour un parachutiste ou une plume, pas du tout.

Comment fonctionne ce calcul

Mouvement uniforme : s = v·t. Mouvement uniformément accéléré : v = v₀ + a·t et s = v₀·t + ½a·t². Relation sans le temps (Torricelli) : v² = v₀² + 2a·Δs, d'où Δs = (v² − v₀²)/(2a). Chute libre sans vitesse initiale : t = √(2h/g), v = g·t, avec g = 9,81 m/s². Tir balistique avec vitesse v₀ et angle α : composantes v₀ₓ = v₀·cos α et v₀ᵧ = v₀·sin α ; temps de vol T = 2v₀ᵧ/g ; portée P = v₀ₓ·T = v₀²·sin(2α)/g ; hauteur maximale H = v₀ᵧ²/(2g). Toutes les formules supposent une accélération constante et l'absence de résistance de l'air.

Dynamique et lois de Newton

Deuxième loi, poids, frottement, plan incliné, force centripète et impulsion, avec la formule qui s'inverse d'elle-même.

Chocs et quantité de mouvement

Chocs frontaux élastiques, inélastiques et intermédiaires : vitesses finales, énergie perdue et impulsion.

Dynamique de rotation

Moment d'inertie, théorème de Huygens, moment d'une force, moment cinétique et roulement, avec la formule qui s'inverse toute seule.

Gravitation universelle

Loi de Newton, pesanteur en surface, vitesses orbitale et de libération, troisième loi de Kepler et énergie potentielle gravitationnelle.