Fisica
Calcolatrice di oscillazioni e moto armonico
Periodo di una massa appesa a una molla e di un pendolo, velocità e accelerazione massime del moto armonico, energia dell'oscillatore e ampiezza che si smorza nel tempo. Scegli la relazione, lascia vuoto il campo che l'esercizio chiede e la formula si inverte da sola.
Perché tante cose oscillano allo stesso modo
Una massa appesa a una molla, un pendolo, una corda di chitarra, un circuito LC: sistemi diversissimi che oscillano con la stessa legge. Il motivo è che tutti hanno una forza di richiamo proporzionale allo spostamento, F = −k·x. Messa nella seconda legge di Newton, dà un'accelerazione proporzionale allo spostamento e di verso opposto, e l'unica funzione che si comporta così è un seno: x(t) = A·cos(ωt), con ω = √(k/m).
Il fatto sorprendente è che il periodo T = 2π/ω non dipende dall'ampiezza. Un'oscillazione più ampia percorre più strada, ma con una forza più grande che la spinge più veloce, e le due cose si compensano esattamente. È questo che ha reso il pendolo il primo orologio preciso: Galileo notò che il periodo non cambia mentre l'oscillazione si smorza. Per il pendolo la costante k è m·g/L, la massa si semplifica e resta T = 2π·√(L/g), valida finché l'angolo resta piccolo.
Nella realtà ogni oscillazione perde energia per attrito. Con un attrito proporzionale alla velocità l'ampiezza decade in modo esponenziale, A₀·e^(−γt): in tempi uguali si perde sempre la stessa frazione, come nel decadimento radioattivo. Se lo smorzamento supera il valore critico b = 2·√(k·m) il sistema non oscilla più e torna in posizione lentamente: è ciò che si cerca negli ammortizzatori di un'auto, tarati appena sotto.
Errori frequenti
- Confondere frequenza e pulsazione: f si misura in hertz e conta i giri al secondo, ω = 2π·f in radianti al secondo. Molte formule vogliono ω.
- Usare T = 2π·√(L/g) per grandi angoli: a 30° il periodo vero è già più lungo di circa l'1,7 %, a 90° del 18 %.
- Mettere la massa nel periodo del pendolo: non c'entra. Un pendolo con una sfera di piombo e uno con una di legno, a parità di lunghezza, battono lo stesso tempo.
- Pensare che l'energia cali come l'ampiezza: va col quadrato, quindi quando l'ampiezza è a metà l'energia rimasta è un quarto.
Domande frequenti
Perché il periodo non dipende dall'ampiezza?
Perché la forza di richiamo cresce con lo spostamento. Un'oscillazione più ampia ha più strada da fare, ma parte da un punto dove la molla tira più forte e raggiunge velocità più alte: i due effetti si compensano esattamente. Questa proprietà si chiama isocronismo e vale finché la forza resta proporzionale allo spostamento.
Quanto deve essere lungo un pendolo che batte il secondo?
Circa 99,4 cm con g = 9,81 m/s². Un'oscillazione di andata dura un secondo, quindi il periodo completo è di due secondi e L = g·(T/2π)² = g/π². Nel Settecento si propose di definire il metro proprio così, ma g cambia con la latitudine e si scelse il meridiano terrestre.
Qual è la differenza fra frequenza e pulsazione?
La frequenza f conta le oscillazioni complete al secondo, in hertz. La pulsazione ω = 2π·f misura lo stesso ritmo in radianti al secondo, perché un'oscillazione completa corrisponde a un giro di 2π radianti. Il periodo è T = 1/f = 2π/ω.
Che cos'è lo smorzamento critico?
Il valore del coefficiente d'attrito, b = 2·√(k·m), oltre il quale il sistema smette di oscillare. Esattamente lì torna in equilibrio nel tempo più breve senza superarlo; sopra ci torna più lentamente, sotto oscilla con ampiezza che si riduce. Gli ammortizzatori delle auto sono tarati poco sotto il critico.
Dove si trova la velocità massima in un moto armonico?
Al centro, nella posizione di equilibrio, dove la forza è nulla e tutta l'energia è cinetica: v_max = A·ω. Agli estremi la velocità è zero e l'accelerazione è massima, A·ω², perché lì la molla tira di più.
Come funziona questo calcolo
Massa-molla: T = 2π·√(m/k), con frequenza f = 1/T, pulsazione ω = 2π/T e smorzamento critico b = 2·√(k·m). Pendolo semplice, per piccole oscillazioni: T = 2π·√(L/g). Moto armonico x(t) = A·cos(ωt): velocità massima v_max = A·ω = 2π·f·A e accelerazione massima A·ω². Energia dell'oscillatore: E = ½·k·A², con forza massima k·A agli estremi. Smorzamento viscoso: A(t) = A₀·e^(−γt), con γ = b/2m; invertendo si ottiene γ = ln(A₀/A)/t, il tempo di dimezzamento è ln 2/γ e l'energia rimasta è (A/A₀)², perché l'energia va col quadrato dell'ampiezza.
Calcoli collegati
Moto rettilineo e parabolico
Moto uniforme, uniformemente accelerato, caduta libera e lancio obliquo.
Dinamica e leggi di Newton
Seconda legge, peso, attrito, piano inclinato, forza centripeta e impulso, con la formula che si inverte da sola.
Urti e quantità di moto
Urti frontali elastici, anelastici e intermedi: velocità finali, energia persa e impulso scambiato.
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