Física
Calculadora de oscilações e movimento harmônico
O período de uma massa presa a uma mola e de um pêndulo, a velocidade e a aceleração máximas do movimento harmônico, a energia do oscilador e uma amplitude que se amortece com o tempo. Escolha a relação, deixe vazio o campo que o exercício pede e a fórmula se inverte sozinha.
Por que tantas coisas oscilam do mesmo jeito
Uma massa presa a uma mola, um pêndulo, uma corda de violão, um circuito LC: sistemas muito diferentes que oscilam pela mesma lei. O motivo é que todos têm uma força restauradora proporcional ao deslocamento, F = −k·x. Levada à segunda lei de Newton, ela dá uma aceleração proporcional ao deslocamento e de sentido oposto, e a única função que se comporta assim é um seno: x(t) = A·cos(ωt), com ω = √(k/m).
O surpreendente é que o período T = 2π/ω não depende da amplitude. Uma oscilação mais ampla percorre mais caminho, mas sob uma força maior que a empurra mais depressa, e as duas coisas se compensam exatamente. Foi isso que fez do pêndulo o primeiro relógio preciso: Galileu notou que o período não muda enquanto a oscilação se apaga. Para o pêndulo a constante k é m·g/L, a massa se cancela e sobra T = 2π·√(L/g), válida enquanto o ângulo for pequeno.
Na realidade toda oscilação perde energia por atrito. Com um atrito proporcional à velocidade a amplitude decai exponencialmente, A₀·e^(−γt): em tempos iguais perde-se sempre a mesma fração, como no decaimento radioativo. Se o amortecimento passa do valor crítico b = 2·√(k·m), o sistema deixa de oscilar e volta lentamente ao repouso: é o que buscam os amortecedores de um carro, ajustados logo abaixo.
Erros frequentes
- Confundir frequência e frequência angular: f se mede em hertz e conta ciclos por segundo, ω = 2π·f em radianos por segundo. Muitas fórmulas pedem ω.
- Usar T = 2π·√(L/g) para ângulos grandes: a 30° o período real já é cerca de 1,7% mais longo, a 90° 18%.
- Pôr a massa no período do pêndulo: ela não entra. Um pêndulo com esfera de chumbo e outro com esfera de madeira, de mesmo comprimento, batem o mesmo tempo.
- Pensar que a energia cai como a amplitude: ela vai com o quadrado, então quando a amplitude está na metade resta um quarto da energia.
Perguntas frequentes
Por que o período não depende da amplitude?
Porque a força restauradora cresce com o deslocamento. Uma oscilação mais ampla tem mais caminho a percorrer, mas parte de onde a mola puxa mais forte e atinge velocidades maiores: os dois efeitos se compensam exatamente. Essa propriedade se chama isocronismo e vale enquanto a força continuar proporcional ao deslocamento.
Qual o comprimento de um pêndulo que bate o segundo?
Cerca de 99,4 cm com g = 9,81 m/s². Uma ida dura um segundo, então o período completo é de dois segundos e L = g·(T/2π)² = g/π². No século XVIII propôs-se definir assim o metro, mas g muda com a latitude e escolheu-se o meridiano terrestre.
Qual a diferença entre frequência e frequência angular?
A frequência f conta as oscilações completas por segundo, em hertz. A frequência angular ω = 2π·f mede o mesmo ritmo em radianos por segundo, porque uma oscilação completa corresponde a uma volta de 2π radianos. O período é T = 1/f = 2π/ω.
O que é o amortecimento crítico?
O valor do coeficiente de atrito, b = 2·√(k·m), acima do qual o sistema deixa de oscilar. Exatamente nele o sistema volta ao equilíbrio no menor tempo sem ultrapassá-lo; acima, volta mais devagar; abaixo, oscila com amplitude decrescente. Os amortecedores dos carros são ajustados um pouco abaixo do crítico.
Onde a velocidade é máxima no movimento harmônico?
No centro, na posição de equilíbrio, onde a força é nula e toda a energia é cinética: v_máx = A·ω. Nos extremos a velocidade é zero e a aceleração é máxima, A·ω², porque é ali que a mola puxa mais.
Como funciona este cálculo
Massa-mola: T = 2π·√(m/k), com frequência f = 1/T, frequência angular ω = 2π/T e amortecimento crítico b = 2·√(k·m). Pêndulo simples, para pequenas oscilações: T = 2π·√(L/g). Movimento harmônico x(t) = A·cos(ωt): velocidade máxima v_máx = A·ω = 2π·f·A e aceleração máxima A·ω². Energia do oscilador: E = ½·k·A², com a força máxima k·A nos extremos. Amortecimento viscoso: A(t) = A₀·e^(−γt), com γ = b/2m; invertendo, γ = ln(A₀/A)/t, a meia-vida é ln 2/γ e a energia restante é (A/A₀)², porque a energia vai com o quadrado da amplitude.
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