Fizyka
Kalkulator drgań i ruchu harmonicznego
Okres masy zawieszonej na sprężynie i wahadła, prędkość i przyspieszenie maksymalne w ruchu harmonicznym, energia oscylatora i amplituda zanikająca w czasie. Wybierz zależność, zostaw puste pole, o które pyta zadanie, a wzór sam się przekształci.
Dlaczego tak wiele rzeczy drga w ten sam sposób
Masa na sprężynie, wahadło, struna gitary, obwód LC: bardzo różne układy, które drgają według tego samego prawa. Powód jest taki, że wszystkie mają siłę zwrotną proporcjonalną do wychylenia, F = −k·x. Wstawiona do drugiej zasady dynamiki daje przyspieszenie proporcjonalne do wychylenia i przeciwnie skierowane, a jedyną funkcją, która tak się zachowuje, jest sinus: x(t) = A·cos(ωt), gdzie ω = √(k/m).
Zaskakujące jest to, że okres T = 2π/ω nie zależy od amplitudy. Szersze drganie pokonuje dłuższą drogę, ale pod działaniem większej siły, która napędza je szybciej, i oba efekty dokładnie się znoszą. To uczyniło wahadło pierwszym dokładnym zegarem: Galileusz zauważył, że okres się nie zmienia, gdy drgania wygasają. Dla wahadła stała k wynosi m·g/l, masa się skraca i zostaje T = 2π·√(l/g), ważne, dopóki kąt pozostaje mały.
W rzeczywistości każde drganie traci energię przez tarcie. Przy oporze proporcjonalnym do prędkości amplituda maleje wykładniczo, A₀·e^(−γt): w równych odstępach czasu traci się zawsze ten sam ułamek, jak w rozpadzie promieniotwórczym. Gdy tłumienie przekroczy wartość krytyczną b = 2·√(k·m), układ przestaje drgać i powoli wraca do równowagi: do tego dążą amortyzatory samochodu, strojone tuż poniżej.
Częste błędy
- Mylenie częstotliwości z częstością kołową: f mierzy się w hercach i liczy cykle na sekundę, ω = 2π·f w radianach na sekundę. Wiele wzorów wymaga ω.
- Stosowanie T = 2π·√(l/g) dla dużych kątów: przy 30° prawdziwy okres jest już dłuższy o około 1,7 %, przy 90° o 18 %.
- Wstawianie masy do okresu wahadła: nie ma ona znaczenia. Wahadło z kulą ołowianą i z drewnianą, o tej samej długości, wybijają ten sam rytm.
- Przekonanie, że energia maleje jak amplituda: zależy od jej kwadratu, więc przy połowie amplitudy zostaje ćwierć energii.
Najczęstsze pytania
Dlaczego okres nie zależy od amplitudy?
Bo siła zwrotna rośnie z wychyleniem. Szersze drganie ma dłuższą drogę, ale zaczyna tam, gdzie sprężyna ciągnie mocniej, i osiąga większe prędkości: oba efekty dokładnie się znoszą. Ta własność to izochronizm i obowiązuje, dopóki siła pozostaje proporcjonalna do wychylenia.
Jak długie jest wahadło sekundowe?
Około 99,4 cm przy g = 9,81 m/s². Jedno wychylenie w jedną stronę trwa sekundę, więc pełny okres to dwie sekundy i l = g·(T/2π)² = g/π². W XVIII wieku proponowano tak zdefiniować metr, ale g zmienia się z szerokością geograficzną i wybrano południk ziemski.
Czym różni się częstotliwość od częstości kołowej?
Częstotliwość f liczy pełne drgania na sekundę, w hercach. Częstość kołowa ω = 2π·f mierzy ten sam rytm w radianach na sekundę, bo pełne drganie odpowiada obrotowi o 2π radianów. Okres to T = 1/f = 2π/ω.
Co to jest tłumienie krytyczne?
Wartość współczynnika oporu, b = 2·√(k·m), powyżej której układ przestaje drgać. Dokładnie przy niej wraca do równowagi najszybciej, bez przeskoczenia; powyżej wraca wolniej, poniżej drga z malejącą amplitudą. Amortyzatory samochodowe stroi się nieco poniżej tłumienia krytycznego.
Gdzie prędkość w ruchu harmonicznym jest największa?
W środku, w położeniu równowagi, gdzie siła jest zerowa, a cała energia kinetyczna: v_max = A·ω. W punktach zwrotnych prędkość jest zerowa, a przyspieszenie największe, A·ω², bo tam sprężyna ciągnie najmocniej.
Jak działa to obliczenie
Wahadło sprężynowe: T = 2π·√(m/k), z częstotliwością f = 1/T, częstością kołową ω = 2π/T i tłumieniem krytycznym b = 2·√(k·m). Wahadło matematyczne, dla małych wychyleń: T = 2π·√(l/g). Ruch harmoniczny x(t) = A·cos(ωt): prędkość maksymalna v_max = A·ω = 2π·f·A i przyspieszenie maksymalne A·ω². Energia oscylatora: E = ½·k·A², z największą siłą k·A w punktach zwrotnych. Tłumienie lepkie: A(t) = A₀·e^(−γt), gdzie γ = b/2m; po przekształceniu γ = ln(A₀/A)/t, czas połowicznego zaniku to ln 2/γ, a pozostała energia to (A/A₀)², bo energia zależy od kwadratu amplitudy.
Powiązane kalkulatory
Ruch prostoliniowy i rzut ukośny
Ruch jednostajny, jednostajnie przyspieszony, spadek swobodny i rzut ukośny.
Dynamika i zasady Newtona
Druga zasada, ciężar, tarcie, równia pochyła, siła dośrodkowa i popęd — wzór odwraca się sam.
Zderzenia i pęd
Zderzenia czołowe sprężyste, niesprężyste i pośrednie: prędkości końcowe, utracona energia i popęd.
Dynamika bryły sztywnej
Moment bezwładności, twierdzenie Steinera, moment siły, moment pędu i toczenie, ze wzorem, który sam się przekształca.