Física
Calculadora de oscilaciones y movimiento armónico
Periodo de una masa colgada de un resorte y de un péndulo, velocidad y aceleración máximas del movimiento armónico, energía del oscilador y amplitud que se amortigua con el tiempo. Elige la relación, deja vacío el campo que pide el ejercicio y la fórmula se despeja sola.
Por qué tantas cosas oscilan igual
Una masa colgada de un resorte, un péndulo, una cuerda de guitarra, un circuito LC: sistemas muy distintos que oscilan con la misma ley. El motivo es que todos tienen una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento, F = −k·x. Llevada a la segunda ley de Newton, da una aceleración proporcional al desplazamiento y de sentido contrario, y la única función que se comporta así es un seno: x(t) = A·cos(ωt), con ω = √(k/m).
Lo sorprendente es que el periodo T = 2π/ω no depende de la amplitud. Una oscilación más amplia recorre más camino, pero con una fuerza mayor que la empuja más rápido, y ambas cosas se compensan exactamente. Eso hizo del péndulo el primer reloj preciso: Galileo notó que el periodo no cambia mientras la oscilación se apaga. Para el péndulo la constante k es m·g/L, la masa se simplifica y queda T = 2π·√(L/g), válida mientras el ángulo sea pequeño.
En la realidad toda oscilación pierde energía por rozamiento. Con un rozamiento proporcional a la velocidad la amplitud decae de forma exponencial, A₀·e^(−γt): en tiempos iguales se pierde siempre la misma fracción, como en la desintegración radiactiva. Si el amortiguamiento supera el valor crítico b = 2·√(k·m), el sistema ya no oscila y vuelve lentamente al reposo: es lo que buscan los amortiguadores de un coche, ajustados justo por debajo.
Errores frecuentes
- Confundir frecuencia y frecuencia angular: f se mide en hercios y cuenta ciclos por segundo, ω = 2π·f en radianes por segundo. Muchas fórmulas piden ω.
- Usar T = 2π·√(L/g) con ángulos grandes: a 30° el periodo real ya es un 1,7 % más largo, a 90° un 18 %.
- Meter la masa en el periodo del péndulo: no interviene. Un péndulo con una bola de plomo y otro con una de madera, de igual longitud, marcan el mismo tiempo.
- Creer que la energía baja como la amplitud: va con el cuadrado, así que cuando la amplitud está a la mitad queda un cuarto de la energía.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el periodo no depende de la amplitud?
Porque la fuerza recuperadora crece con el desplazamiento. Una oscilación más amplia tiene más camino que recorrer, pero parte de donde el resorte tira más fuerte y alcanza velocidades mayores: los dos efectos se compensan exactamente. Esta propiedad se llama isocronismo y vale mientras la fuerza siga siendo proporcional al desplazamiento.
¿Qué longitud tiene un péndulo que bate segundos?
Unos 99,4 cm con g = 9,81 m/s². Una oscilación de ida dura un segundo, así que el periodo completo es de dos segundos y L = g·(T/2π)² = g/π². En el siglo XVIII se propuso definir así el metro, pero g cambia con la latitud y se eligió el meridiano terrestre.
¿Qué diferencia hay entre frecuencia y frecuencia angular?
La frecuencia f cuenta oscilaciones completas por segundo, en hercios. La frecuencia angular ω = 2π·f mide el mismo ritmo en radianes por segundo, porque una oscilación completa equivale a una vuelta de 2π radianes. El periodo es T = 1/f = 2π/ω.
¿Qué es el amortiguamiento crítico?
El valor del coeficiente de rozamiento, b = 2·√(k·m), a partir del cual el sistema deja de oscilar. Justo en él vuelve al equilibrio en el menor tiempo sin sobrepasarlo; por encima vuelve más despacio, por debajo oscila con amplitud decreciente. Los amortiguadores de los coches se ajustan un poco por debajo del crítico.
¿Dónde es máxima la velocidad en un movimiento armónico?
En el centro, en la posición de equilibrio, donde la fuerza es nula y toda la energía es cinética: v_máx = A·ω. En los extremos la velocidad es cero y la aceleración es máxima, A·ω², porque ahí el resorte tira más.
Cómo funciona este cálculo
Masa-resorte: T = 2π·√(m/k), con frecuencia f = 1/T, frecuencia angular ω = 2π/T y amortiguamiento crítico b = 2·√(k·m). Péndulo simple, para oscilaciones pequeñas: T = 2π·√(L/g). Movimiento armónico x(t) = A·cos(ωt): velocidad máxima v_máx = A·ω = 2π·f·A y aceleración máxima A·ω². Energía del oscilador: E = ½·k·A², con la fuerza máxima k·A en los extremos. Amortiguamiento viscoso: A(t) = A₀·e^(−γt), con γ = b/2m; despejando se obtiene γ = ln(A₀/A)/t, la semivida es ln 2/γ y la energía restante es (A/A₀)², porque la energía va con el cuadrado de la amplitud.
Cálculos relacionados
Movimiento rectilíneo y parabólico
Movimiento uniforme, uniformemente acelerado, caída libre y lanzamiento oblicuo.
Dinámica y leyes de Newton
Segunda ley, peso, rozamiento, plano inclinado, fuerza centrípeta e impulso, con la fórmula que se invierte sola.
Choques y cantidad de movimiento
Choques frontales elásticos, inelásticos e intermedios: velocidades finales, energía perdida e impulso.
Dinámica de rotación
Momento de inercia, teorema de Steiner, momento de fuerza, momento angular y rodadura, con la fórmula que se despeja sola.