Physik
Rechner für Schwingungen und harmonische Bewegung
Periodendauer eines Federpendels und eines Fadenpendels, Höchstgeschwindigkeit und -beschleunigung der harmonischen Schwingung, Energie des Oszillators und eine mit der Zeit abklingende Amplitude. Wähle die Beziehung, lass das gesuchte Feld leer, und die Formel stellt sich selbst um.
Warum so vieles auf dieselbe Weise schwingt
Eine Masse an einer Feder, ein Pendel, eine Gitarrensaite, ein LC-Schwingkreis: ganz verschiedene Systeme, die nach demselben Gesetz schwingen. Der Grund ist, dass sie alle eine Rückstellkraft haben, die proportional zur Auslenkung ist, F = −D·x. In das zweite Newtonsche Gesetz eingesetzt, ergibt sie eine Beschleunigung proportional zur Auslenkung und ihr entgegengerichtet, und die einzige Funktion, die sich so verhält, ist ein Sinus: x(t) = A·cos(ωt), mit ω = √(D/m).
Das Überraschende ist, dass die Periodendauer T = 2π/ω nicht von der Amplitude abhängt. Eine weitere Schwingung legt mehr Weg zurück, aber unter einer größeren Kraft, die sie schneller antreibt, und beides hebt sich genau auf. Das machte das Pendel zur ersten genauen Uhr: Galilei bemerkte, dass sich die Periode nicht ändert, während die Schwingung abklingt. Beim Pendel ist die Konstante D gleich m·g/l, die Masse kürzt sich heraus, und es bleibt T = 2π·√(l/g), gültig, solange der Winkel klein bleibt.
In Wirklichkeit verliert jede Schwingung Energie durch Reibung. Bei geschwindigkeitsproportionaler Reibung klingt die Amplitude exponentiell ab, A₀·e^(−γt): In gleichen Zeiten geht immer derselbe Bruchteil verloren, wie beim radioaktiven Zerfall. Übersteigt die Dämpfung den kritischen Wert b = 2·√(D·m), schwingt das System nicht mehr und kriecht in die Ruhelage zurück: Darauf zielen die Stoßdämpfer eines Autos, knapp darunter abgestimmt.
Häufige Fehler
- Frequenz und Kreisfrequenz verwechseln: f wird in Hertz gemessen und zählt Schwingungen pro Sekunde, ω = 2π·f in Radiant pro Sekunde. Viele Formeln verlangen ω.
- T = 2π·√(l/g) für große Winkel verwenden: Bei 30° ist die wahre Periode schon etwa 1,7 % länger, bei 90° um 18 %.
- Die Masse in die Periodendauer des Pendels einsetzen: Sie spielt keine Rolle. Ein Pendel mit Bleikugel und eines mit Holzkugel gleicher Länge schlagen im selben Takt.
- Glauben, die Energie nehme wie die Amplitude ab: Sie geht mit dem Quadrat, bei halber Amplitude ist also noch ein Viertel der Energie übrig.
Häufige Fragen
Warum hängt die Periodendauer nicht von der Amplitude ab?
Weil die Rückstellkraft mit der Auslenkung wächst. Eine weitere Schwingung hat mehr Weg vor sich, beginnt aber dort, wo die Feder stärker zieht, und erreicht höhere Geschwindigkeiten: Beide Effekte heben sich genau auf. Diese Eigenschaft heißt Isochronie und gilt, solange die Kraft proportional zur Auslenkung bleibt.
Wie lang ist ein Sekundenpendel?
Etwa 99,4 cm bei g = 9,81 m/s². Ein Hinschwung dauert eine Sekunde, die volle Periode also zwei Sekunden, und l = g·(T/2π)² = g/π². Im 18. Jahrhundert wurde vorgeschlagen, den Meter so zu definieren, aber g ändert sich mit der geografischen Breite, und man wählte den Erdmeridian.
Was ist der Unterschied zwischen Frequenz und Kreisfrequenz?
Die Frequenz f zählt volle Schwingungen pro Sekunde, in Hertz. Die Kreisfrequenz ω = 2π·f misst denselben Takt in Radiant pro Sekunde, weil eine volle Schwingung einer Drehung um 2π Radiant entspricht. Die Periodendauer ist T = 1/f = 2π/ω.
Was ist die kritische Dämpfung?
Der Wert des Reibungskoeffizienten, b = 2·√(D·m), ab dem das System nicht mehr schwingt. Genau dort kehrt es in kürzester Zeit ohne Überschwingen in die Ruhelage zurück; darüber langsamer, darunter schwingt es mit abnehmender Amplitude. Stoßdämpfer von Autos sind etwas unterhalb der kritischen Dämpfung abgestimmt.
Wo ist die Geschwindigkeit bei einer harmonischen Schwingung am größten?
In der Mitte, der Ruhelage, wo die Kraft null ist und die ganze Energie Bewegungsenergie: v_max = A·ω. An den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit null und die Beschleunigung am größten, A·ω², weil die Feder dort am stärksten zieht.
So funktioniert diese Berechnung
Federpendel: T = 2π·√(m/D), mit Frequenz f = 1/T, Kreisfrequenz ω = 2π/T und kritischer Dämpfung b = 2·√(D·m). Fadenpendel, für kleine Auslenkungen: T = 2π·√(l/g). Harmonische Schwingung x(t) = A·cos(ωt): Höchstgeschwindigkeit v_max = A·ω = 2π·f·A und Höchstbeschleunigung A·ω². Energie des Oszillators: E = ½·D·A², mit der größten Kraft D·A an den Umkehrpunkten. Viskose Dämpfung: A(t) = A₀·e^(−γt), mit γ = b/2m; umgestellt ergibt sich γ = ln(A₀/A)/t, die Halbwertszeit ist ln 2/γ, und die verbleibende Energie ist (A/A₀)², weil die Energie mit dem Quadrat der Amplitude geht.
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