Physique
Calculateur d'oscillations et de mouvement harmonique
Période d'une masse suspendue à un ressort et d'un pendule, vitesse et accélération maximales du mouvement harmonique, énergie de l'oscillateur et amplitude qui s'amortit au fil du temps. Choisissez la relation, laissez vide le champ demandé par l'exercice, et la formule s'inverse toute seule.
Pourquoi tant de choses oscillent de la même façon
Une masse au bout d'un ressort, un pendule, une corde de guitare, un circuit LC : des systèmes très différents qui oscillent selon la même loi. La raison est qu'ils ont tous une force de rappel proportionnelle au déplacement, F = −k·x. Portée dans la deuxième loi de Newton, elle donne une accélération proportionnelle au déplacement et de sens opposé, et la seule fonction qui se comporte ainsi est un sinus : x(t) = A·cos(ωt), avec ω = √(k/m).
Ce qui surprend, c'est que la période T = 2π/ω ne dépend pas de l'amplitude. Une oscillation plus ample parcourt plus de chemin, mais sous une force plus grande qui la pousse plus vite, et les deux se compensent exactement. C'est ce qui a fait du pendule la première horloge précise : Galilée remarqua que la période ne change pas pendant que l'oscillation s'éteint. Pour le pendule, la constante k vaut m·g/L, la masse se simplifie et il reste T = 2π·√(L/g), valable tant que l'angle reste petit.
En réalité, toute oscillation perd de l'énergie par frottement. Avec un frottement proportionnel à la vitesse, l'amplitude décroît exponentiellement, A₀·e^(−γt) : on perd toujours la même fraction en des temps égaux, comme dans la décroissance radioactive. Si l'amortissement dépasse la valeur critique b = 2·√(k·m), le système n'oscille plus et revient lentement au repos : c'est ce que visent les amortisseurs d'une voiture, réglés juste en dessous.
Erreurs fréquentes
- Confondre fréquence et pulsation : f se mesure en hertz et compte les cycles par seconde, ω = 2π·f en radians par seconde. Beaucoup de formules demandent ω.
- Utiliser T = 2π·√(L/g) pour de grands angles : à 30°, la vraie période est déjà plus longue d'environ 1,7 %, à 90° de 18 %.
- Mettre la masse dans la période du pendule : elle n'y est pour rien. Un pendule à boule de plomb et un à boule de bois, de même longueur, battent le même temps.
- Croire que l'énergie diminue comme l'amplitude : elle varie comme son carré, donc à mi-amplitude il ne reste qu'un quart de l'énergie.
Questions fréquentes
Pourquoi la période ne dépend-elle pas de l'amplitude ?
Parce que la force de rappel augmente avec le déplacement. Une oscillation plus ample a plus de chemin à parcourir, mais elle part d'un point où le ressort tire plus fort et atteint des vitesses plus élevées : les deux effets se compensent exactement. Cette propriété s'appelle l'isochronisme ; elle vaut tant que la force reste proportionnelle au déplacement.
Quelle longueur pour un pendule qui bat la seconde ?
Environ 99,4 cm avec g = 9,81 m/s². Un aller dure une seconde, donc la période complète est de deux secondes et L = g·(T/2π)² = g/π². Au XVIIIᵉ siècle, on proposa de définir ainsi le mètre, mais g varie avec la latitude et on choisit le méridien terrestre.
Quelle est la différence entre fréquence et pulsation ?
La fréquence f compte les oscillations complètes par seconde, en hertz. La pulsation ω = 2π·f mesure le même rythme en radians par seconde, car une oscillation complète correspond à un tour de 2π radians. La période vaut T = 1/f = 2π/ω.
Qu'est-ce que l'amortissement critique ?
La valeur du coefficient de frottement, b = 2·√(k·m), au-delà de laquelle le système cesse d'osciller. Exactement à cette valeur, il revient à l'équilibre le plus vite possible sans le dépasser ; au-dessus, plus lentement ; en dessous, il oscille avec une amplitude décroissante. Les amortisseurs des voitures sont réglés un peu en dessous du critique.
Où la vitesse est-elle maximale dans un mouvement harmonique ?
Au centre, à la position d'équilibre, où la force est nulle et toute l'énergie cinétique : v_max = A·ω. Aux extrémités, la vitesse est nulle et l'accélération maximale, A·ω², car c'est là que le ressort tire le plus.
Comment fonctionne ce calcul
Masse-ressort : T = 2π·√(m/k), avec fréquence f = 1/T, pulsation ω = 2π/T et amortissement critique b = 2·√(k·m). Pendule simple, pour les petites oscillations : T = 2π·√(L/g). Mouvement harmonique x(t) = A·cos(ωt) : vitesse maximale v_max = A·ω = 2π·f·A et accélération maximale A·ω². Énergie de l'oscillateur : E = ½·k·A², avec la force maximale k·A aux extrémités. Amortissement visqueux : A(t) = A₀·e^(−γt), avec γ = b/2m ; en inversant, γ = ln(A₀/A)/t, la demi-vie vaut ln 2/γ et l'énergie restante (A/A₀)², car l'énergie varie comme le carré de l'amplitude.
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