Mathématiques
Résolution d'équations différentielles linéaires à coefficients constants
Saisis les coefficients et le second membre f(x) : obtiens l'équation caractéristique, la solution de l'équation homogène, une solution particulière par coefficients indéterminés et, avec les conditions initiales, la solution du problème de Cauchy et son graphique.
Équations linéaires à coefficients constants
Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées. Les équations linéaires à coefficients constants, a·y″ + b·y′ + c·y = f(x), décrivent ressorts, circuits RLC et RC et décroissances radioactives : ce sont les premières rencontrées au lycée et à l'université. La solution générale est la somme de la solution de l'équation homogène, avec f = 0, et d'une solution particulière quelconque.
Pour l'équation homogène on cherche y = e^(rx) : il reste l'équation caractéristique a·r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles donnent deux exponentielles, une racine double r donne (C₁ + C₂x)·e^(rx), deux racines complexes α ± iβ donnent e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx), une oscillation amortie ou amplifiée.
La solution particulière se cherche sous la même forme que le second membre, avec des coefficients inconnus. Pour y″ + 3y′ + 2y = 4x + e^(−x), on essaie Ax + B et, puisque e^(−x) résout déjà l'homogène, K·x·e^(−x) : on obtient 2x − 3 + x·e^(−x). Les conditions initiales fixent ensuite les constantes.
Erreurs fréquentes
- Oublier de multiplier par x en cas de résonance : l'essai Ke^(−x) donnerait 0 = e^(−x), impossible.
- Appliquer les conditions initiales à la seule solution homogène au lieu de la solution complète.
- Écrire les racines complexes comme deux exponentielles réelles : il faut sinus et cosinus de βx.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le problème de Cauchy ?
C'est l'équation accompagnée des conditions initiales, la valeur de y et, au second ordre, de y′ en un point x₀. Elles fixent les constantes et rendent la solution unique.
Et si le second membre est différent, par exemple ln x ?
La méthode des coefficients indéterminés ne fonctionne que pour les polynômes, exponentielles, sinus, cosinus et leurs produits. Sinon, on utilise la variation des constantes, qui mène souvent à des intégrales non élémentaires.
Que représentent les racines complexes ?
Une oscillation : la partie imaginaire β est la pulsation, la partie réelle α indique si l'amplitude s'amortit (α < 0), croît (α > 0) ou reste constante (α = 0).
Comment fonctionne ce calcul
Homogène : a·r² + b·r + c = 0. Δ > 0 : y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x) ; Δ = 0 : y = (C₁ + C₂x)e^(rx) ; Δ < 0 : y = e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx). Particulière pour f = xᵏe^(mx) cos(ωx) ou sin(ωx) : on écrit f comme partie réelle de e^(λx)G(x), λ = m + iω, et on cherche y = Re[e^(λx)R(x)] avec a·R″ + (2aλ + b)R′ + p(λ)R = G, en multipliant R par x^s si λ est racine caractéristique de multiplicité s. Les conditions initiales donnent un système linéaire en C₁ et C₂.
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