Matemáticas
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Introduce los coeficientes y el término independiente f(x): obtendrás la ecuación característica, la solución de la homogénea, una solución particular por coeficientes indeterminados y, con condiciones iniciales, la solución del problema de valor inicial y su gráfica.
Ecuaciones lineales con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Las lineales con coeficientes constantes, a·y″ + b·y′ + c·y = f(x), describen muelles, circuitos RLC y RC y desintegraciones: son las primeras que se estudian en bachillerato y en la universidad. La solución general es la suma de la solución de la homogénea, con f = 0, y de una solución particular cualquiera.
Para la homogénea se prueba y = e^(rx): al sustituir queda la ecuación característica a·r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales dan dos exponenciales, una raíz doble r da (C₁ + C₂x)·e^(rx), dos raíces complejas α ± iβ dan e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sen βx), una oscilación que se amortigua o crece.
La solución particular se busca por coeficientes indeterminados: se prueba una función de la misma forma que el término independiente con coeficientes desconocidos. Para y″ + 3y′ + 2y = 4x + e^(−x) se prueban Ax + B y, como e^(−x) ya resuelve la homogénea, K·x·e^(−x): sale 2x − 3 + x·e^(−x). Las condiciones iniciales fijan después las constantes.
Errores frecuentes
- Olvidar multiplicar por x en caso de resonancia: probar Ke^(−x) daría 0 = e^(−x), imposible.
- Aplicar las condiciones iniciales solo a la solución homogénea en lugar de a la completa.
- Escribir las raíces complejas como dos exponenciales reales: hacen falta seno y coseno de βx.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el problema de valor inicial?
Es la ecuación junto con las condiciones iniciales, el valor de y y, en segundo orden, de y′ en un punto x₀. Fijan las constantes y hacen única la solución.
¿Y si el término independiente es distinto, por ejemplo ln x?
Los coeficientes indeterminados solo sirven para polinomios, exponenciales, senos, cosenos y sus productos. En otros casos se usa la variación de parámetros, que a menudo lleva a integrales no elementales.
¿Qué representan las raíces complejas?
Una oscilación: la parte imaginaria β es la pulsación y la parte real α indica si la amplitud se amortigua (α < 0), crece (α > 0) o se mantiene (α = 0).
Cómo funciona este cálculo
Homogénea: a·r² + b·r + c = 0. Δ > 0: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x); Δ = 0: y = (C₁ + C₂x)e^(rx); Δ < 0: y = e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sen βx). Particular para f = xᵏe^(mx) cos(ωx) o sen(ωx): se escribe f como parte real de e^(λx)G(x), λ = m + iω, y se busca y = Re[e^(λx)R(x)] con a·R″ + (2aλ + b)R′ + p(λ)R = G, multiplicando R por x^s si λ es raíz característica de multiplicidad s. Las condiciones iniciales dan un sistema lineal en C₁ y C₂.
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