Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten

Eine Differentialgleichung verknüpft eine Funktion mit ihren Ableitungen. Die linearen mit konstanten Koeffizienten, a·y″ + b·y′ + c·y = f(x), beschreiben Federn, RLC- und RC-Kreise und Zerfälle: Sie sind die ersten, die man in Schule und Studium kennenlernt. Die allgemeine Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung, für f = 0, und einer beliebigen partikulären Lösung.

Für die homogene Gleichung setzt man y = e^(rx) an: Übrig bleibt die charakteristische Gleichung a·r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Nullstellen ergeben zwei Exponentialfunktionen, eine doppelte Nullstelle r ergibt (C₁ + C₂x)·e^(rx), zwei komplexe Nullstellen α ± iβ ergeben e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx), eine gedämpfte oder anwachsende Schwingung.

Die partikuläre Lösung findet man mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite: eine Funktion derselben Form wie f mit unbekannten Koeffizienten. Für y″ + 3y′ + 2y = 4x + e^(−x) setzt man Ax + B an und, weil e^(−x) schon die homogene Gleichung löst, K·x·e^(−x): Es ergibt sich 2x − 3 + x·e^(−x). Die Anfangswerte legen dann die Konstanten fest.

Häufige Fehler

Bei Resonanz vergessen, mit x zu multiplizieren: Der Ansatz Ke^(−x) ergäbe 0 = e^(−x), unmöglich.
Die Anfangswerte nur auf die homogene statt auf die vollständige Lösung anwenden.
Komplexe Nullstellen als zwei reelle Exponentialfunktionen schreiben: nötig sind Sinus und Kosinus von βx.

Häufige Fragen

Was ist ein Anfangswertproblem?

Die Gleichung zusammen mit Anfangswerten, dem Wert von y und bei zweiter Ordnung von y′ an einer Stelle x₀. Sie legen die Konstanten fest und machen die Lösung eindeutig.

Und wenn die Störfunktion anders ist, etwa ln x?

Der Ansatz vom Typ der rechten Seite funktioniert nur für Polynome, Exponentialfunktionen, Sinus, Kosinus und deren Produkte. Sonst braucht man die Variation der Konstanten, die oft auf nicht elementare Integrale führt.

Was bedeuten komplexe Nullstellen?

Eine Schwingung: Der Imaginärteil β ist die Kreisfrequenz, der Realteil α sagt, ob die Amplitude abklingt (α < 0), wächst (α > 0) oder gleich bleibt (α = 0).

So funktioniert diese Berechnung

Homogen: a·r² + b·r + c = 0. Δ > 0: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x); Δ = 0: y = (C₁ + C₂x)e^(rx); Δ < 0: y = e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx). Partikulär für f = xᵏe^(mx) cos(ωx) oder sin(ωx): f als Realteil von e^(λx)G(x) schreiben, λ = m + iω, und y = Re[e^(λx)R(x)] mit a·R″ + (2aλ + b)R′ + p(λ)R = G ansetzen, R mit x^s multipliziert, wenn λ s-fache Nullstelle ist. Die Anfangswerte ergeben ein lineares Gleichungssystem für C₁ und C₂.

Komplexe Zahlen

Rechenarten, algebraische, trigonometrische und Exponentialform, Potenzen und n-te Wurzeln, mit der Gaußschen Zahlenebene.

Lineare und quadratische Gleichungen

Lösungen, Diskriminante, Scheitelpunkt und Linearfaktorzerlegung von ax² + bx + c = 0.

Polynome faktorisieren

Ausklammern, Polynomdivision, binomische Formeln und quadratische Terme: ein Polynom Schritt für Schritt zerlegen.

Integrale

Stammfunktion einer Funktion und bestimmtes Integral zwischen zwei Grenzen.