Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Equações lineares com coeficientes constantes

Uma equação diferencial liga uma função às suas derivadas. As lineares com coeficientes constantes, a·y″ + b·y′ + c·y = f(x), descrevem molas, circuitos RLC e RC e decaimentos: são as primeiras que aparecem no ensino médio e na faculdade. A solução geral é a soma da solução homogênea, com f = 0, e de uma solução particular qualquer.

Para a homogênea tenta-se y = e^(rx): substituindo, sobra a equação característica a·r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais dão duas exponenciais, uma raiz dupla r dá (C₁ + C₂x)·e^(rx), duas raízes complexas α ± iβ dão e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sen βx), uma oscilação que se amortece ou cresce.

A solução particular é encontrada pelos coeficientes a determinar: testa-se uma função da mesma forma do termo independente com coeficientes desconhecidos. Para y″ + 3y′ + 2y = 4x + e^(−x) testam-se Ax + B e, como e^(−x) já resolve a homogênea, K·x·e^(−x): o resultado é 2x − 3 + x·e^(−x). As condições iniciais fixam depois as constantes.

Erros comuns

Esquecer de multiplicar por x em caso de ressonância: testar Ke^(−x) daria 0 = e^(−x), impossível.
Aplicar as condições iniciais só à solução homogênea em vez da solução completa.
Escrever as raízes complexas como duas exponenciais reais: são necessários seno e cosseno de βx.

Perguntas frequentes

O que é o problema de valor inicial?

É a equação junto com as condições iniciais, o valor de y e, na segunda ordem, de y′ num ponto x₀. Elas fixam as constantes e tornam a solução única.

E se o termo independente for outro, por exemplo ln x?

Os coeficientes a determinar funcionam só para polinômios, exponenciais, senos, cossenos e seus produtos. Nos outros casos usa-se a variação dos parâmetros, que muitas vezes leva a integrais não elementares.

O que representam as raízes complexas?

Uma oscilação: a parte imaginária β é a frequência angular, e a parte real α diz se a amplitude diminui (α < 0), cresce (α > 0) ou fica constante (α = 0).

Como funciona este cálculo

Homogênea: a·r² + b·r + c = 0. Δ > 0: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x); Δ = 0: y = (C₁ + C₂x)e^(rx); Δ < 0: y = e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sen βx). Particular para f = xᵏe^(mx) cos(ωx) ou sen(ωx): escreve-se f como parte real de e^(λx)G(x), λ = m + iω, e busca-se y = Re[e^(λx)R(x)] com a·R″ + (2aλ + b)R′ + p(λ)R = G, multiplicando R por x^s se λ for raiz característica de multiplicidade s. As condições iniciais dão um sistema linear em C₁ e C₂.

Números complexos

Operações, forma algébrica, trigonométrica e exponencial, potências e raízes n-ésimas, com o plano de Argand-Gauss.

Equações do primeiro e do segundo grau

Raízes, discriminante, vértice e forma fatorada de ax² + bx + c = 0.

Fatoração de polinômios

Fator comum, Briot-Ruffini, produtos notáveis e trinômios: a fatoração de um polinômio passo a passo.

Integrais

A primitiva de uma função e a integral definida entre dois limites.