Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły i odwrotnie

Ułamki okresowe i ułamki zwykłe

Każdy ułamek po podzieleniu daje rozwinięcie skończone albo okresowe. Skończone jest wtedy, gdy mianownik po skróceniu ma tylko czynniki 2 i 5; w przeciwnym razie cyfry powtarzają się bez końca, bo możliwych reszt z dzielenia jest skończenie wiele i któraś w końcu wraca. 1/7 = 0,(142857) ma okres sześciocyfrowy, 1/97 aż 96-cyfrowy.

Droga odwrotna prowadzi do ułamka zwykłego. Reguła szkolna: w liczniku liczba bez przecinka minus część przed okresem, w mianowniku tyle 9, ile cyfr ma okres, i tyle 0, ile cyfr stoi przed okresem. Dla 0,1(6): (16 − 1) / 90 = 15/90 = 1/6.

Reguła działa, bo mnożenie przez potęgę 10 przesuwa okres, a przy odejmowaniu dwóch kopii liczby nieskończone ogony się znoszą. Dlatego też 0,(9) to dokładnie 1: różnica między tymi liczbami byłaby mniejsza od każdej liczby dodatniej.

Częste błędy

Pisanie w mianowniku samych 9, gdy przed okresem są cyfry: 0,1(6) wymaga 90, nie 9.
Zapominanie o odjęciu części nieokresowej w liczniku.
Nieskracanie ułamka: 15/90 jest poprawne, ale oczekiwany wynik to 1/6.

Najczęstsze pytania

Dlaczego 0,(9) jest równe 1?

Bo 1/3 = 0,(3), a trzy razy 1/3 to 1, podczas gdy trzy razy 0,(3) to 0,(9). Według reguły: 9/9 = 1. Dwie różne liczby miałyby dodatnią różnicę, a tu jej nie ma.

Jak poznać, że ułamek da rozwinięcie okresowe?

Skraca się go i rozkłada mianownik: jeśli ma tylko czynniki 2 i 5, rozwinięcie jest skończone, w przeciwnym razie okresowe. Bez 2 i 5 jest okresowe czyste, z nimi obok innych czynników okresowe mieszane.

Jak długi może być okres?

Najwyżej mianownik minus jeden: 1/7 ma 6 cyfr, 1/17 ma 16, 1/97 ma 96.

Jak działa to obliczenie

Ułamek a,b(c), gdzie b to k cyfr przed okresem, a c okres z p cyfr: ułamek = (abc − ab) / (99…9 00…0), z p dziewiątkami i k zerami. Rozwinięcie skończone a,b: ab / 10^k. Ze zwykłego na dziesiętny: dzielenie pisemne; okres zaczyna się, gdy powtórzy się reszta, i ma długość odcinka między powtórzeniami.

Rozkład na czynniki pierwsze

Czynniki pierwsze liczby do 30 cyfr, z rozkładem w słupku, dzielnikami i testem pierwszości.

NWD i NWW

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność z rozkładem na czynniki pierwsze.

Ułamki

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków, ze skróceniem do postaci nieskracalnej.

Notacja naukowa

Notacja naukowa i inżynierska, cyfry znaczące i zaokrąglanie dowolnej liczby.