Fração geratriz de uma dízima periódica

Dízimas periódicas e fração geratriz

Toda fração, dividida, dá um decimal exato ou uma dízima periódica. É exato quando o denominador, simplificado, só tem os fatores 2 e 5; senão os algarismos se repetem para sempre, porque os restos possíveis da divisão são finitos e um deles acaba voltando. 1/7 = 0,(142857) tem período de seis algarismos; 1/97, de 96.

O caminho inverso é a fração geratriz. A regra da escola: no numerador, o número sem vírgula menos a parte anterior ao período; no denominador, tantos 9 quantos algarismos tem o período, seguidos de tantos 0 quantos algarismos tem o antiperíodo. Para 0,1(6): (16 − 1) / 90 = 15/90 = 1/6.

A regra funciona porque multiplicar por uma potência de 10 desloca o período, e subtraindo duas cópias do número as caudas infinitas se cancelam. É também por isso que 0,(9) vale exatamente 1: a diferença entre os dois seria menor que qualquer quantidade positiva.

Erros comuns

Colocar só 9 no denominador quando há antiperíodo: 0,1(6) precisa de 90, não de 9.
Esquecer de subtrair a parte não periódica no numerador.
Não simplificar a fração: 15/90 está certa, mas a resposta esperada é 1/6.

Perguntas frequentes

Por que 0,(9) é igual a 1?

Porque 1/3 = 0,(3) e três vezes 1/3 dá 1, enquanto três vezes 0,(3) dá 0,(9). Pela regra: 9/9 = 1. Dois números diferentes teriam uma diferença positiva entre si, e aqui não há.

Como saber se uma fração gera uma dízima?

Simplifica-se e fatora-se o denominador: se só tem fatores 2 e 5, o decimal é exato; senão, é dízima. Sem 2 nem 5 é dízima simples; com eles junto de outros fatores, composta.

Qual o tamanho máximo do período?

No máximo o denominador menos um: 1/7 tem 6 algarismos, 1/17 tem 16, 1/97 tem 96.

Como funciona este cálculo

Decimal a,b(c) com antiperíodo b de k algarismos e período c de p algarismos: fração = (abc − ab) / (99…9 00…0), com p noves e k zeros. Decimal exato a,b: ab / 10^k. De fração para decimal: divisão longa; o período começa quando um resto se repete e tem o tamanho do trecho entre as duas repetições.

Decomposição em fatores primos

Fatores primos de um número de até 30 dígitos, com a divisão em coluna, os divisores e o teste de primalidade.

MDC e MMC

Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum com fatoração em primos.

Frações

Soma, subtração, multiplicação e divisão de frações, simplificadas ao máximo.

Notação científica

Notação científica e de engenharia, algarismos significativos e arredondamento de qualquer número.