Frazioni: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione

Come si opera con le frazioni

Somma e sottrazione richiedono che le due frazioni parlino la stessa lingua, cioè abbiano lo stesso denominatore. Si cerca il minimo comune denominatore — il minimo comune multiplo dei due denominatori — si riscrivono entrambe le frazioni su quella base e si sommano i soli numeratori. Per 1/2 + 1/3 il minimo comune denominatore è 6: le frazioni diventano 3/6 e 2/6, e la somma è 5/6.

Moltiplicazione e divisione sono più semplici e non richiedono denominatore comune. Nel prodotto si moltiplicano numeratori fra loro e denominatori fra loro. Nella divisione si moltiplica la prima frazione per il reciproco della seconda, cioè si capovolge la seconda e si moltiplica: 3/4 ÷ 2/5 diventa 3/4 × 5/2 = 15/8.

La riduzione ai minimi termini consiste nel dividere numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore. 8/12 ha MCD 4 e si riduce a 2/3: è la stessa quantità scritta nel modo più compatto, ed è la forma in cui una risposta va normalmente consegnata. Quando il numeratore supera il denominatore la frazione si dice impropria e può essere riscritta come numero misto: 7/3 diventa 2 e 1/3.

La conversione da decimale a frazione è esatta per i decimali finiti — 0,375 è 375/1000, cioè 3/8 — e usa la regola dei nove per quelli periodici: 0,8333… si riconosce come 5/6. Questo è il motivo per cui una frazione talvolta è preferibile al decimale: 1/3 è esatto, 0,333 è un'approssimazione che trascina errore in ogni calcolo successivo.

Errori comuni

Sommare numeratori e denominatori separatamente: 1/2 + 1/3 non fa 2/5. Serve prima il denominatore comune.
Semplificare attraverso una somma: in (a + b)/b non si può cancellare la b, perché la semplificazione vale solo fra fattori di un prodotto.
Dimenticare di capovolgere la seconda frazione nella divisione, oppure capovolgere la prima invece della seconda.
Lasciare il risultato non ridotto: 6/8 è corretto ma incompleto, la forma attesa è 3/4.
Trattare un decimale periodico come se fosse finito: arrotondare 1/3 a 0,33 introduce un errore che si amplifica nelle moltiplicazioni successive.

Domande frequenti

Come si sommano due frazioni con denominatori diversi?

Si calcola il minimo comune denominatore, si riscrivono entrambe le frazioni su quella base moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso fattore, poi si sommano i numeratori lasciando invariato il denominatore. Il risultato va infine ridotto ai minimi termini.

Come si divide una frazione per un'altra?

Si moltiplica la prima per il reciproco della seconda: a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d) / (b × c). L'operazione non è definita se c vale zero, perché equivarrebbe a dividere per zero.

Che cos'è un numero misto?

È la scrittura di una frazione impropria come somma di una parte intera e di una frazione propria: 7/3 equivale a 2 più 1/3, che si scrive 2 1/3. Le due forme rappresentano lo stesso numero.

Come si trasforma un decimale in frazione?

Per un decimale finito si scrive il numero senza virgola sul denominatore 10 elevato al numero di cifre decimali, poi si semplifica: 0,375 = 375/1000 = 3/8. Per un decimale periodico si usa la regola dei nove: 0,8333… = 5/6.

Come si riduce una frazione ai minimi termini?

Si divide numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore. Per 18/24 il MCD è 6, quindi la frazione ridotta è 3/4. Se il MCD è 1 la frazione è già irriducibile.

Come funziona questo calcolo

Somma e differenza: a/b ± c/d = (a × m/b ± c × m/d) / m, dove m è il minimo comune multiplo di b e d. Prodotto: a/b × c/d = (a × c) / (b × d). Quoziente: a/b ÷ c/d = (a × d) / (b × c). Il risultato viene ridotto dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore, calcolato con l'algoritmo di Euclide, e il segno viene sempre portato al numeratore.

Percentuali

Percentuale di un totale, aumenti, sconti, variazione percentuale e scorporo.

Proporzioni

Termine incognito, quarto proporzionale, medio e terzo proporzionale.

MCD e mcm

Massimo comun divisore e minimo comune multiplo con scomposizione in fattori primi.

Scomposizione in fattori primi

Fattori primi di un numero fino a 30 cifre, con la divisione in colonna, i divisori e il test di primalità.