Mathematik
Periodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Schreibe eine periodische Zahl mit der Periode in Klammern, etwa 0,1(6), und erhalte den vollständig gekürzten Bruch. Oder gib einen Bruch ein und sieh die Dezimalzahl mit markierter Periode.
Periodische Dezimalzahlen und ihre Brüche
Jeder Bruch ergibt ausgerechnet eine endliche oder eine periodische Dezimalzahl. Endlich ist sie, wenn der gekürzte Nenner nur die Faktoren 2 und 5 enthält; sonst wiederholen sich die Ziffern endlos, weil es bei der Division nur endlich viele Reste gibt und einer irgendwann wiederkehrt. 1/7 = 0,(142857) hat eine sechsstellige Periode, 1/97 sogar eine 96-stellige.
Der umgekehrte Weg führt zum Bruch. Die Schulregel: Im Zähler steht die Zahl ohne Komma minus der Teil vor der Periode, im Nenner so viele 9 wie die Periode Stellen hat, gefolgt von so vielen 0 wie die Vorperiode. Für 0,1(6): (16 − 1) / 90 = 15/90 = 1/6.
Die Regel funktioniert, weil die Multiplikation mit einer Zehnerpotenz die Periode verschiebt und beim Subtrahieren zweier Kopien der Zahl die unendlichen Enden wegfallen. Deshalb ist auch 0,(9) genau 1: Der Unterschied wäre kleiner als jede positive Zahl.
Häufige Fehler
- Im Nenner nur 9er schreiben, obwohl es eine Vorperiode gibt: 0,1(6) braucht 90, nicht 9.
- Vergessen, im Zähler den nicht periodischen Teil abzuziehen.
- Den Bruch nicht kürzen: 15/90 ist richtig, erwartet wird aber 1/6.
Häufige Fragen
Warum ist 0,(9) gleich 1?
Weil 1/3 = 0,(3) und dreimal 1/3 gleich 1 ist, dreimal 0,(3) aber 0,(9). Nach der Regel: 9/9 = 1. Zwei verschiedene Zahlen hätten einen positiven Abstand, und hier gibt es keinen.
Woran erkenne ich, ob ein Bruch periodisch ist?
Man kürzt ihn und zerlegt den Nenner: Enthält er nur 2 und 5, ist die Dezimalzahl endlich, sonst periodisch. Ohne 2 und 5 ist sie reinperiodisch, mit ihnen neben anderen Faktoren gemischtperiodisch.
Wie lang kann die Periode sein?
Höchstens Nenner minus eins: 1/7 hat 6 Stellen, 1/17 hat 16, 1/97 hat 96.
So funktioniert diese Berechnung
Dezimalzahl a,b(c) mit Vorperiode b aus k Stellen und Periode c aus p Stellen: Bruch = (abc − ab) / (99…9 00…0), mit p Neunen und k Nullen. Endliche Zahl a,b: ab / 10^k. Bruch in Dezimalzahl: schriftliche Division; die Periode beginnt, sobald sich ein Rest wiederholt, und ist so lang wie der Abschnitt zwischen den Wiederholungen.
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