Calcolo proporzioni: trova il termine incognito

Come si risolve una proporzione

Una proporzione è l'uguaglianza fra due rapporti: a : b = c : d si legge «a sta a b come c sta a d». Il primo e l'ultimo termine si chiamano estremi, i due centrali medi. La proprietà fondamentale dice che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, cioè a·d = b·c, e da questa sola uguaglianza si ricava qualunque termine manchi: basta isolarlo dividendo per il fattore che lo accompagna.

Il medio proporzionale è il caso in cui il termine incognito compare due volte, come in a : x = x : b. La proprietà fondamentale dà x² = a·b, quindi x = √(a·b): è la media geometrica dei due estremi, non la media aritmetica. La differenza non è formale — fra 4 e 9 la media aritmetica è 6,5 mentre il medio proporzionale è 6 — ed è il motivo per cui il medio proporzionale compare nei teoremi di Euclide e nei tassi di crescita.

Le proporzioni sono lo strumento con cui si risolvono i problemi di proporzionalità diretta: ricette da riscalare, mappe e scale, percentuali, cambi di valuta, dosaggi. La regola pratica è sempre la stessa: scrivere le due grandezze nello stesso ordine in entrambi i rapporti, e assicurarsi che siano espresse nella stessa unità di misura.

Errori frequenti

Invertire l'ordine in uno dei due rapporti: se il primo è «chilometri sta a ore», anche il secondo deve esserlo. Scrivere «ore sta a chilometri» nel secondo rapporto dà un risultato che è il reciproco di quello giusto.
Mescolare unità diverse: 30 minuti e 2 ore vanno portati alla stessa unità prima di entrare nella proporzione, altrimenti il rapporto non ha senso.
Confondere il medio proporzionale con la media aritmetica: il primo è la radice del prodotto, la seconda è la semisomma. Coincidono solo quando i due numeri sono uguali.

Domande frequenti

Come si trova il termine incognito di una proporzione?

Con la proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Un estremo incognito si ottiene moltiplicando i due medi e dividendo per l'altro estremo; un medio incognito moltiplicando i due estremi e dividendo per l'altro medio.

Che cos'è il quarto proporzionale?

È il quarto termine di una proporzione di cui si conoscono i primi tre: in a : b = c : x vale x = (b·c)/a. È la forma in cui si presenta la maggior parte dei problemi di proporzionalità diretta.

Che cos'è il medio proporzionale?

È il valore che occupa contemporaneamente il posto di secondo e terzo termine, come in a : x = x : b. Vale x = √(a·b), cioè la media geometrica degli estremi. Esiste nei numeri reali solo se il prodotto a·b non è negativo.

Un termine di una proporzione può essere zero?

No. Se un termine fosse zero anche il prodotto corrispondente lo sarebbe, e la proporzione o diventa impossibile o perde di significato, perché uno dei due rapporti non sarebbe più definito.

Come funziona questo calcolo

Proporzione: a : b = c : d, cioè a/b = c/d. Proprietà fondamentale: a·d = b·c, il prodotto degli estremi è uguale a quello dei medi. Termine incognito: a = (b·c)/d, b = (a·d)/c, c = (a·d)/b, d = (b·c)/a. Medio proporzionale, da a : x = x : b: x² = a·b, quindi x = √(a·b) (si considera la radice positiva; quella negativa soddisfa l'equazione ma non la lettura geometrica). Terzo proporzionale, da a : b = b : x: x = b²/a. Proprietà del comporre: (a+b) : b = (c+d) : d. Proprietà dello scomporre: (a−b) : b = (c−d) : d.

Percentuali

Percentuale di un totale, aumenti, sconti, variazione percentuale e scorporo.

Frazioni

Somma, sottrazione, prodotto e quoziente di frazioni, con semplificazione ai minimi termini.

MCD e mcm

Massimo comun divisore e minimo comune multiplo con scomposizione in fattori primi.

Convertitore di unità di misura

Dieci categorie di unità, dalla lunghezza alla pressione, con tabella completa di conversione.