Calcul de proportions : trouver le terme inconnu

Comment résoudre une proportion

Une proportion est l'égalité de deux rapports : a : b = c : d se lit « a est à b ce que c est à d ». Le premier et le dernier terme s'appellent les extrêmes, les deux du milieu les moyens. La propriété fondamentale énonce que le produit des moyens est égal au produit des extrêmes, soit a·d = b·c, et de cette seule égalité découle n'importe quel terme manquant : il suffit de l'isoler en divisant par le facteur qui l'accompagne.

La moyenne proportionnelle est le cas où le terme inconnu apparaît deux fois, comme dans a : x = x : b. La propriété fondamentale donne x² = a·b, donc x = √(a·b) : c'est la moyenne géométrique des deux extrêmes, pas la moyenne arithmétique. La différence n'est pas formelle — entre 4 et 9 la moyenne arithmétique vaut 6,5 tandis que la moyenne proportionnelle vaut 6 — et c'est pourquoi la moyenne proportionnelle apparaît dans les théorèmes d'Euclide et dans les taux de croissance.

Les proportions sont l'outil des problèmes de proportionnalité directe : recettes à réajuster, cartes et échelles, pourcentages, conversions de devises, dosages. La règle pratique est toujours la même : écrire les deux grandeurs dans le même ordre dans les deux rapports, et s'assurer qu'elles sont exprimées dans la même unité.

Erreurs fréquentes

Inverser l'ordre dans l'un des deux rapports : si le premier est « kilomètres est à heures », le second doit l'être aussi. Écrire « heures est à kilomètres » dans le second rapport donne l'inverse du bon résultat.
Mélanger des unités différentes : 30 minutes et 2 heures doivent être ramenés à la même unité avant d'entrer dans la proportion, sinon le rapport n'a pas de sens.
Confondre la moyenne proportionnelle et la moyenne arithmétique : la première est la racine du produit, la seconde la demi-somme. Elles ne coïncident que lorsque les deux nombres sont égaux.

Questions fréquentes

Comment trouver le terme inconnu d'une proportion ?

Avec la propriété fondamentale : le produit des moyens est égal au produit des extrêmes. Un extrême inconnu s'obtient en multipliant les deux moyens et en divisant par l'autre extrême ; un moyen inconnu en multipliant les deux extrêmes et en divisant par l'autre moyen.

Qu'est-ce que la quatrième proportionnelle ?

C'est le quatrième terme d'une proportion dont on connaît les trois premiers : dans a : b = c : x, x = (b·c)/a. C'est la forme que prend la plupart des problèmes de proportionnalité directe.

Qu'est-ce que la moyenne proportionnelle ?

C'est la valeur qui occupe à la fois la place du deuxième et du troisième terme, comme dans a : x = x : b. Elle vaut x = √(a·b), soit la moyenne géométrique des extrêmes. Elle n'existe dans les réels que si le produit a·b n'est pas négatif.

Un terme d'une proportion peut-il être nul ?

Non. Si un terme était nul, le produit correspondant le serait aussi, et la proportion devient soit impossible soit dénuée de sens, car l'un des deux rapports ne serait plus défini.

Comment fonctionne ce calcul

Proportion : a : b = c : d, c'est-à-dire a/b = c/d. Propriété fondamentale : a·d = b·c, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens. Terme inconnu : a = (b·c)/d, b = (a·d)/c, c = (a·d)/b, d = (b·c)/a. Moyenne proportionnelle, à partir de a : x = x : b : x² = a·b, donc x = √(a·b) (on retient la racine positive ; la négative vérifie l'équation mais pas la lecture géométrique). Troisième proportionnelle, à partir de a : b = b : x : x = b²/a. Propriété de composition : (a+b) : b = (c+d) : d. Propriété de division : (a−b) : b = (c−d) : d.

Pourcentages

Pourcentage d'un total, hausses, remises, variation en pourcentage et calcul inverse.

Fractions

Addition, soustraction, multiplication et division de fractions, réduites à leur plus simple expression.

PGCD et PPCM

Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple avec décomposition en facteurs premiers.

Convertisseur d'unités de mesure

Dix catégories d'unités, de la longueur à la pression, avec un tableau de conversion complet.