Mathematik
Rechner für Verhältnisgleichungen
Wähle das fehlende Glied, gib die anderen drei ein und erhalte die Unbekannte mit der Probe: Das Produkt der Innenglieder muss dem der Außenglieder entsprechen.
Wie man eine Verhältnisgleichung löst
Eine Verhältnisgleichung ist die Gleichheit zweier Verhältnisse: a : b = c : d liest man „a verhält sich zu b wie c zu d". Das erste und das letzte Glied heißen Außenglieder, die beiden mittleren Innenglieder. Die Grundeigenschaft besagt, dass das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt der Außenglieder ist, also a·d = b·c, und aus dieser einen Gleichung folgt jedes fehlende Glied: Man stellt es frei, indem man durch den begleitenden Faktor teilt.
Das geometrische Mittel ist der Fall, in dem das gesuchte Glied zweimal auftritt, wie in a : x = x : b. Die Grundeigenschaft liefert x² = a·b, also x = √(a·b): Es ist das geometrische Mittel der beiden Außenglieder, nicht das arithmetische. Der Unterschied ist nicht formal — zwischen 4 und 9 beträgt das arithmetische Mittel 6,5, das geometrische aber 6 — und er erklärt, warum das geometrische Mittel in den Sätzen des Euklid und bei Wachstumsraten auftaucht.
Verhältnisgleichungen sind das Werkzeug für Aufgaben zur direkten Proportionalität: Rezepte umrechnen, Karten und Maßstäbe, Prozente, Währungsumrechnung, Dosierungen. Die praktische Regel lautet immer gleich: Die beiden Größen in beiden Verhältnissen in derselben Reihenfolge schreiben und sicherstellen, dass sie in derselben Einheit angegeben sind.
Häufige Fehler
- Die Reihenfolge in einem der beiden Verhältnisse umdrehen: Heißt das erste „Kilometer zu Stunden", muss es das zweite auch. „Stunden zu Kilometer" im zweiten Verhältnis liefert den Kehrwert des richtigen Ergebnisses.
- Verschiedene Einheiten mischen: 30 Minuten und 2 Stunden müssen vor dem Einsetzen auf dieselbe Einheit gebracht werden, sonst ergibt das Verhältnis keinen Sinn.
- Das geometrische Mittel mit dem arithmetischen verwechseln: Das erste ist die Wurzel aus dem Produkt, das zweite die halbe Summe. Sie fallen nur zusammen, wenn beide Zahlen gleich sind.
Häufige Fragen
Wie findet man das fehlende Glied einer Verhältnisgleichung?
Mit der Grundeigenschaft: Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder. Ein unbekanntes Außenglied erhält man, indem man die beiden Innenglieder multipliziert und durch das andere Außenglied teilt; ein unbekanntes Innenglied, indem man die beiden Außenglieder multipliziert und durch das andere Innenglied teilt.
Was ist die vierte Proportionale?
Das vierte Glied einer Verhältnisgleichung, deren erste drei bekannt sind: In a : b = c : x gilt x = (b·c)/a. In dieser Form treten die meisten Aufgaben zur direkten Proportionalität auf.
Was ist das geometrische Mittel?
Der Wert, der zugleich zweites und drittes Glied ist, wie in a : x = x : b. Es gilt x = √(a·b). In den reellen Zahlen existiert es nur, wenn das Produkt a·b nicht negativ ist.
Darf ein Glied einer Verhältnisgleichung null sein?
Nein. Wäre ein Glied null, wäre auch das zugehörige Produkt null, und die Verhältnisgleichung wird entweder unmöglich oder sinnlos, weil eines der beiden Verhältnisse nicht mehr definiert wäre.
Wie diese Berechnung funktioniert
Verhältnisgleichung: a : b = c : d, also a/b = c/d. Grundeigenschaft: a·d = b·c, das Produkt der Außenglieder ist gleich dem der Innenglieder. Fehlendes Glied: a = (b·c)/d, b = (a·d)/c, c = (a·d)/b, d = (b·c)/a. Geometrisches Mittel aus a : x = x : b: x² = a·b, also x = √(a·b) (die positive Wurzel wird genommen; die negative erfüllt die Gleichung, aber nicht die geometrische Deutung). Dritte Proportionale aus a : b = b : x: x = b²/a. Korrespondierende Addition: (a+b) : b = (c+d) : d. Korrespondierende Subtraktion: (a−b) : b = (c−d) : d.
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