Mathematik
Polynom in Linearfaktoren zerlegen, Schritt für Schritt
Gib ein Polynom in x ein: Du erhältst die Faktorzerlegung mit Rechenweg, vom Ausklammern über die mit dem Horner-Schema gefundenen Nullstellen bis zu den erkannten binomischen Formeln und den reellen und komplexen Nullstellen.
Wie man ein Polynom faktorisiert
Ein Polynom faktorisieren heißt, es als Produkt von Polynomen kleineren Grades zu schreiben. Die Reihenfolge ist immer dieselbe: zuerst den gemeinsamen Faktor ausklammern, dann nach binomischen Formeln schauen, dann Nullstellen mit Polynomdivision oder Horner-Schema abspalten und zuletzt die quadratischen Terme behandeln.
Die Polynomdivision beruht auf dem Satz vom Nullprodukt: Ist a eine Nullstelle, dann ist (x − a) ein Faktor. Mögliche rationale Nullstellen sind Brüche, deren Zähler das Absolutglied und deren Nenner den Leitkoeffizienten teilt. Bei 2x⁴ − 2x³ − 14x² + 2x + 12 liefern nach dem Ausklammern der 2 die Nullstellen −2, −1, 1 und 3 die Zerlegung 2(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 3).
Bleibt ein quadratischer Term ax² + bx + c, entscheidet die Diskriminante Δ = b² − 4ac: Ist sie eine Quadratzahl, sind die Nullstellen rational; ist sie positiv, aber keine Quadratzahl, zerfällt der Term nur über ℝ mit irrationalen Nullstellen; ist sie negativ, ist er irreduzibel. Manche Polynome ohne Nullstellen zerfallen trotzdem in zwei quadratische Terme, etwa x⁴ + 4 = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).
Häufige Fehler
- Das Ausklammern am Anfang vergessen: Es erschwert alle weiteren Schritte.
- (x − a) und (x + a) verwechseln: Ist die Nullstelle 3, lautet der Faktor (x − 3).
- x² + 1 auch über ℂ für irreduzibel halten: über ℝ ist es das, über ℂ ist es (x + i)(x − i).
Häufige Fragen
Wie finde ich die Nullstellen zum Ausprobieren?
Man teilt die Teiler des Absolutglieds durch die Teiler des Leitkoeffizienten, mit beiden Vorzeichen. Für 6x² − x − 2: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6. Hier passen −1/2 und 2/3.
Lässt sich jedes Polynom zerlegen?
Über ℂ immer in Linearfaktoren: der Fundamentalsatz der Algebra. Über ℝ immer in lineare und quadratische Faktoren. Über ℚ dagegen sind viele Polynome, etwa x² − 2, irreduzibel.
Was ist der Unterschied zwischen Nullstelle und Faktor?
Zwei Seiten derselben Sache: a ist genau dann Nullstelle des Polynoms, wenn (x − a) ein Faktor ist.
So funktioniert diese Berechnung
Ausklammern: Division durch den ggT der Koeffizienten. Satz: P(a) = 0 ⇔ (x − a) teilt P(x). Mögliche rationale Nullstellen: p/q mit p Teiler des Absolutglieds und q Teiler des Leitkoeffizienten. Quadratischer Term ax² + bx + c: Δ = b² − 4ac, Nullstellen x = (−b ± √Δ) / 2a und ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Quartisch: (a₁x² + b₁x + c₁)(a₂x² + b₂x + c₂) mit ganzzahligen Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich.
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