Fatoração de polinômios online, passo a passo

Como fatorar um polinômio

Fatorar um polinômio é escrevê-lo como produto de polinômios de grau menor. A ordem dos passos é sempre a mesma: primeiro o fator comum em evidência, depois os produtos notáveis, em seguida as raízes com o dispositivo de Briot-Ruffini e, por fim, os trinômios do segundo grau.

O dispositivo de Briot-Ruffini se apoia no teorema do resto: se um número a anula o polinômio, então (x − a) é um fator. As raízes racionais possíveis são frações com numerador divisor do termo independente e denominador divisor do coeficiente dominante. Para 2x⁴ − 2x³ − 14x² + 2x + 12, com o 2 em evidência, as raízes −2, −1, 1 e 3 dão 2(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 3).

Quando sobra um trinômio ax² + bx + c, quem decide é o discriminante Δ = b² − 4ac: se for quadrado perfeito, as raízes são racionais; se for positivo mas não quadrado, o trinômio se fatora só nos reais, com raízes irracionais; se for negativo, é irredutível. Alguns polinômios sem raízes ainda se separam em dois trinômios, como x⁴ + 4 = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).

Erros comuns

Esquecer o fator comum no início: isso complica todos os passos seguintes.
Trocar (x − a) por (x + a): se a raiz é 3, o fator é (x − 3).
Considerar x² + 1 irredutível também nos complexos: nos reais é, nos complexos vale (x + i)(x − i).

Perguntas frequentes

Como escolher as raízes para testar?

Pegam-se os divisores do termo independente e dividem-se pelos divisores do coeficiente dominante, com os dois sinais. Para 6x² − x − 2: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6. Aqui funcionam −1/2 e 2/3.

Todo polinômio pode ser fatorado?

Nos complexos sim, sempre em fatores do primeiro grau: é o teorema fundamental da álgebra. Nos reais chega-se sempre a fatores de primeiro e segundo grau. Nos racionais, porém, muitos polinômios, como x² − 2, são irredutíveis.

Qual a diferença entre raiz e fator?

São dois lados da mesma coisa: a é raiz do polinômio se, e somente se, (x − a) é um fator dele.

Como funciona este cálculo

Fator comum: divide-se pelo MDC dos coeficientes. Teorema do resto: P(a) = 0 ⇔ (x − a) divide P(x). Raízes racionais possíveis: p/q com p divisor do termo independente e q divisor do coeficiente dominante. Trinômio ax² + bx + c: Δ = b² − 4ac, raízes x = (−b ± √Δ) / 2a e ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Quarto grau: (a₁x² + b₁x + c₁)(a₂x² + b₂x + c₂) com coeficientes inteiros, comparando coeficientes.

Números complexos

Operações, forma algébrica, trigonométrica e exponencial, potências e raízes n-ésimas, com o plano de Argand-Gauss.

Equações do primeiro e do segundo grau

Raízes, discriminante, vértice e forma fatorada de ax² + bx + c = 0.

Equações diferenciais

Equações diferenciais lineares de primeira e segunda ordem com coeficientes constantes, com solução e gráfico.

Dispositivo de Briot-Ruffini

Divide um polinômio por (x − a) e o fatora.